Прецессия линии апсид

[Euler-Maskerony]

В учебнике Л.Д.Ландау Е.М.Лифшиц "Механика" п.14 "Движение в центральном поле" рассмотрен вывод зависимости (в полярных координатах) угла от длины радиус-вектора, с началом в центре тяжести системы и концом во втором теле:
$\varphi=\int\frac{M/r^2dr}{\sqrt{2\cdot m[E-U(r)]-\frac{M^2}{r^2}}}$ (1)
где $M$ - момент импульса, $E$ - полная энергия системы, $U(r)$ - функция потенциальной энергии тела от длины радиус-вектора.

Далее показывается, что пусть даже пространство и финитно, траектория не обязана быть замкнутой, т.е. за период обращения угол $\varphi$ меняется и определяется, логично, как:
$\Delta\varphi=2\int\limits_{r_m}^{R_m}\frac{M/r^2dr}{\sqrt{2\cdot m[E-U(r)]-\frac{M^2}{r^2}}}$ (2)
где $R_m$ и $r_m$ - максимальная и минимальная длина радиус-вектора соответственно.

И вот тут я не пойму. На Википедии ничего про это не написано, а объясняется данное явления действием других тел, релятивистскими эффектами и приливными силами. В формуле же не учитывается ничего из перечисленного. Можно ли использовать формулу (2) для гравитационно связанных систем? Я считаю, что можно. Даже посчитал один частный случай: тело массы 100 кг находится на орбите с апоцентром 35000 км над поверхностью Земли и перицентром 180 км. У меня получилось, что за один оборот линия апсид сместится на 3 градуса.

[EUgeneUS]

Euler-Maskerony в сообщении #1426443 писал(а):

Даже посчитал один частный случай: тело массы 100 кг находится на орбите с апоцентром 35000 км над поверхностью Земли и перицентром 180 км. У меня получилось, что за один оборот линия апсид сместится на 3 градуса.

А можно посмотреть на то, как был получен этот вывод?

[Euler-Maskerony]

EUgeneUS в сообщении #1426445 писал(а):

А можно посмотреть на то, как был получен этот вывод?

В Maple значения подставил

[pogulyat_vyshel]

Euler-Maskerony в сообщении #1426443 писал(а):

На Википедии
ничего про это не написано, а объясняется данное явления действием других тел, релятивистскими эффектами и приливными силами. В формуле же не учитывается ничего из перечисленного. Можно ли использовать формулу (2) для гравитационно связанных с

ну посмотрите про какой потенциал пишут в википедии и про какой потенциал пишет ландафшиц

[EUgeneUS]

Подставили как-то не так, или не туда, или не то...

Есть только два вида центрально симметричных потенциала, где все финитные орбиты замкнуты и являются эллипсами: $U(r)\sim -\frac{1}{ r}$ и $U( r) \sim r^2$.

[Euler-Maskerony]

pogulyat_vyshel в сообщении #1426447 писал(а):

ну посмотрите про какой потенциал пишут в википедии и про какой потенциал пишет ландафшиц

Очевидно, что на Википедии написано про пропорциональный $\frac{1}{r}$. В Ландавшице далее написано, что при $\frac{1}{r}$ и $r^2$ пропорциональности траектории замкнуты. Непонятно, означает это отсутствие прецессии или что-то другое.
Если первое, то из-за численных методов вычисления у меня появилась погрешность.

-- 17.11.2019, 19:23 --

EUgeneUS в сообщении #1426449 писал(а):

Есть только два вида центрально симметричных потенциала, где все финитные орбиты замкнуты и являются эллипсами: $U(r)\sim -\frac{1}{ r}$ и $U( r) \sim r^2$.

Всё, спасибо. Разобрался.

[EUgeneUS]

FGJ, орбиты спутников действительно прецессируют. И главная причина не в приливных силах или релятивистских эффектах.
А в том, что гравитационное поле Земли не является центрально симметричным.