Некоторое упрощение при выводе рекуррентных формул

[Утундрий]

Такой лайфхачек придумался. Если записать ряд Тейлора функции в виде

$$u(x) = \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} {u_k \frac{{x^k }}{{k!}}} $$

(где суммирование идёт по всем целым значениям), то не нужно будет беспокоиться об исключениях, если только предположить

$$0 = \frac{1}{{( - 1)!}} = \frac{1}{{( - 2)!}} = \frac{1}{{( - 3)!}} = ...$$

(Тем более, что так оно и есть).

Проиллюстрирую идею на полиномах Лежандра.

$$\left( {1 - x^2 } \right)u'' - 2xu' + n(n + 1)u = 0$$

Функция переходит в $u \to u_k \frac{{x^k }}{{k!}}$ (стрелка заменяет громоздкий знак суммы), её производные и прочие комбинации в $u' \to u_k \frac{{x^{k - 1} }}{{(k - 1)!}} = u_{k + 1} \frac{{x^k }}{{k!}}$, $xu' \to u_k \frac{{x^k }}{{(k - 1)!}}$, $u'' \to u_k \frac{{x^{k - 2} }}{{(k - 2)!}} = u_{k + 2} \frac{{x^k }}{{k!}}$, $x^2 u'' \to u_k \frac{{x^k }}{{(k - 2)!}}$ и в итоге получается следующие рекуррентные соотношения

$$\frac{1}{{k!}}u_{k + 2} = \left[ {\frac{1}{{(k - 2)!}} + \frac{2}{{(k - 1)!}} - \frac{{n(n + 1)}}{{k!}}} \right]u_k $$

Поскольку мы оставили факториалы в знаменателе, далее легко выписываются все исключения

$$\begin{array}{*{20}c} k & {{{u_{k + 2} } \mathord{\left/ {\vphantom {{u_{k + 2} } {u_k }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {u_k }}} \\ {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 1 \\ { \geqslant 2} \\ \end{array} } & {\left| \!{\overline {\, {\begin{array}{*{20}c} { - n(n + 1)} \\ {2 - n(n + 1)} \\ {k(k - 1) + 2k - n(n + 1)} \\ \end{array} } \,}} \right. } \\ \end{array} $$

Потом, конечно, всё это можно свернуть

$$\[ u_{k + 2} = \left[ {k(k + 1) - n(n + 1)} \right]u_k \quad \forall k \in \mathbb{N} \] $$