Ряд Фурье функции не из L2

[Padawan]

При изложении темы ряды Фурье в курсе математического анализа возник следующий вопрос.
Известно, что если функция $f(x)$ квадратично интегрируема на $[-\pi,\pi]$, то справедливо равенство Парсеваля

$$ \frac{a^2_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f^2(x) dx $$

где $a_k,b_k$ -- коэффициенты Фурье функции $f$.
Вопрос состоит в том, чтобы доказать, что это равенство справедливо также и в случае $\int_{-\pi}^\pi f^2(x) dx=+\infty$.
Я умею это доказать, пользуясь понятиями ТФДП и функана: если бы ряд в левой части сходился, то ряд Фурье функции $f$ сходился бы в пространстве $L_2$ к некоторой квадратично интегрируемой функции $g$, разность $f-g$ имела бы нулевые коэффициенты Фурье, а, значит была бы равна нулю почти всюду.

Но хотелось бы доказать, пользуясь только средствами математического анализа. Поискал в Фихтенгольце (самая последняя глава трехтомника), не нашел ответа.

Сформулирую задачу конкретнее: Пусть функция $f(x)$ интегрируема по Риману на любом отрезке $[\xi,\eta]\subset (-\pi,\pi)$ и несобственные интегралы $\int_{-\pi}^\pi f^2(x) dx=+\infty$, $\int_{-\pi}^\pi |f(x)| dx<+\infty$. Доказать, что $\frac{a^2_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)=+\infty$.

Возможно, что я сильно туплю, и все просто. Буду рад любой подсказке.

[novichok2018]

Предположим противное, что сумма конечна. Тогда функция из эль два...

[DeBill]

novichok2018 в сообщении #1426185 писал(а):

Предположим противное, что сумма конечна. Тогда функция из эль два...

Дык: ТС это уже и написал. Однако, он хочет обойтись чисто матаном...

[g______d]

Padawan в сообщении #1426097 писал(а):

Известно, что если функция $f(x)$ квадратично интегрируема на $[-\pi,\pi]$, то справедливо равенство Парсеваля

Если это известно, то можно рассмотреть срезки: $f_n(x)=f(x)\bbold{1}_{[-\pi+1/n,\pi-1/n]}(x)$. Для $f_n$ суммы квадратов коэффициентов Фурье будут идти к бесконечности. С другой стороны, они связаны с коэффициентами самой $f$ свёрткой. Нужно будет доказать, что свёртка с рядом Фурье индикаторной функции является ограниченным оператором в $\ell^2$, но это вроде можно руками сделать.

Ключевой момент, позволяющий не доказывать полноту, -- тот факт, что для $f_n$ равенство Парсеваля уже есть.

[vpb]

Вот рассуждение чисто матаном. Будем считать $f\colon(-\pi,\pi)\longrightarrow{\mathbb C}$ комплекснозначным.

Для любых комплексных и непрерывных функций $g,h\in C([-\pi,\pi])$ существует $\langle g,h\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}g\overline h\,dx$. И заметим, что $\langle f,g\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}f\overline g\,dx$ тоже существует.

Пусть $\sum_{i=-\infty}^{+\infty}f_ie^{ix}$ --- ряд Фурье для $f$.

Интеграл $\int_{-a}^a|f|^2\,dx$ существует для всякого $0\leq a <\pi$, а $\int_{-\pi}^\pi |f|^2\,dx$ расходится. И нам надо доказать, что
$\sum_{i=-\infty}^{+\infty}|f_i|^2\,dx$ тоже расходится. Предположим противное, и пусть $C$ --- (конечное) значение этой суммы.

Пусть $g(x)=\sum_{n=-N}^N g_ne^{inx}$ --- конечный тригонометрический
многочлен. Тогда ясно, что $\langle f,g\rangle=\sum_{n=-N}^Nf_n\overline{g_n}$.

Напишем неравенство Коши-Буняковского в комплексной форме:

$$|\sum_{i=1}^N a_i\overline{b_i}|^2\leq \sum_{i=1}^N|a_i|^2\, \, \sum_{i=1}^N|b_i|^2.$$

Отсюда

$$ |\langle f,g\rangle|^2\leq \sum_{n=-N}^N|f_n|^2\cdot \sum_{n=-N}^N|g_n|^2\,\leq C\langle g,g\rangle.$$

Значит, $|\langle f,g\rangle|\leq C^{1/2}\langle g,g\rangle^{1/2}$. Это верно для любого конечного тригонометрического многочлена. Но любая непрерывная функция на $[-\pi,\pi]$ равномерно приближается тригонометрическими многочленами. Поэтому это неравенство должно быть верно для любой непрерывной функции $g$. Понять, почему это невозможно, оставляем читателю.

[Dan B-Yallay]

Я извиняюсь если туплю, но откуда следует, что функция $f$ имеет особенности именно на границах интервала? Из какого именно условия?

-- Пт ноя 15, 2019 18:09:07 --

Если из вот этого,

Padawan в сообщении #1426097 писал(а):

Пусть функция $f(x)$ интегрируема по Риману на любом отрезке $[\xi,\eta]\subset (-\pi,\pi)$

то ясно. Подумал, что тут интегрируемость по Риману включает и несобственную.