Выразить ортогональную матрицу

[Gefrey__]

Доброго всем дня! Решал матричное уравнение и дошёл до следующего момента: $Q^TA = BQ$, где $A,B$ заданные матрицы одного размера, $Q$ - искомая ортогональная матрица. Могу ли я её выразить как-то отсюда?

[vpb]

Увы, нет. Поставить и решить (численно) задачу о нахождении такой матрицы, может, можно, но выразить по простому --- нет.

[Gefrey__]

vpb
А если уравнение было бы вида $Q^TA = A^TQ$ при условии, что $Q$ ортогональная?

[DeBill]

Gefrey__
Ваше (последнее) равенство означает: это - симметричная матрица. Так что погуглите "полярное разложение"

[mihiv]

При некоторых условиях матрицу $Q$ можно найти. Исходное уравнение преобразуем к виду: $BA=BQBQ$. Если матрица $BA$ приводится к диагональному виду с положительными собственными значениями, то $BQ=(BA)^{\frac 12}$ откуда $Q=B^{-1}(BA)^{\frac 12}$.

[DeBill]

mihiv в сообщении #1424976 писал(а):

Если матрица $BA$ приводится к диагональному виду с положительными собственными значениями,

А если не приводится, то и нет решений ("к диагональному" можно, видимо, заменить и на "жордановой НФ"). Это приводит к НЕОБХОДИМЫМ условиям разрешимости задачи.
Можно и на предмет единственности посмотреть - корней из матрицы не так уж и много ($2^n$ для эн на эн матрицы).
Но проблема - не в этом. Проблема: а с фига ли найденная нами матрица - ортогональна? Я попробовал выписать это условие - там каша какая то из собственных векторов матрицы $BA$ непонятная...

[Евгений Машеров]

Ещё необходимое условие - умножение на ортогональную матрицу сохраняет евклидову норму матрицы. То есть должно быть $\lVert A\rVert=\lVert B\rVert$

[mihiv]

Есть и очевидное достаточное условие: $Q$ ортогональна, если ортогональны $B$ и $(BA)^{\frac 12}.$

[Евгений Машеров]

Мне представляется, что для построения численного метода решения данного уравнения могут пригодиться идеи из
https://www.twirpx.com/file/2875408/
В частности, параграф 17.