2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение02.09.2008, 22:29 
Цитата:
Существуют точки $-1<x_1<1$ и $-1<x_2<1$ , в которых $p''$ примет значение равное нулю.


Кроме того $x_1\neq x_2$ - без этого не сработает.

Цитата:
А что на самом последнем шаге, для $n$-ой производной?


Там тоже самое. Посчитайте сколько у $p^{(n-1)}$ корней на $(-1,1)$
и примените опять теорему.

 
 
 
 
Сообщение03.09.2008, 01:24 
Really писал(а):
Цитата:
А что на самом последнем шаге, для $n$-ой производной?

Там тоже самое. Посчитайте сколько у $p^{(n-1)}$ корней на $(-1,1)$
и примените опять теорему.

Не совсем то же. У последней производной корней на границе нет, поэтому на последнем шаге количество корней, наоборот, уменьшится. Как раз до $n$ и уменьшится.

 
 
 
 
Сообщение03.09.2008, 11:35 
ewert писал(а):
Не совсем то же. У последней производной корней на границе нет, поэтому на последнем шаге количество корней, наоборот, уменьшится. Как раз до $n$ и уменьшится.


Почему? Происходит нарушение условий теоремы Ролля?

Последовательно рассматривая, сколько имеется кореней у $i$-ой функции, каждый раз исползуем эту теорему, а сами производные и не считаем. В чем дело с последней производной?

 
 
 
 
Сообщение03.09.2008, 12:14 
ewert в сообщении #142390 писал(а):
Цитата:
А что на самом последнем шаге, для $n$-ой производной?

Really писал(а):
Там тоже самое. Посчитайте сколько у $p^{(n-1)}$ корней на $(-1,1)$
и примените опять теорему.


Не совсем то же. У последней производной корней на границе нет, поэтому на последнем шаге количество корней, наоборот, уменьшится. Как раз до $n$ и уменьшится.


Я писал про $p^{(n-1)}$ - у нее будут корни на границе. Вся путаница в слове "последний".

Цитата:
В чем дело с последней производной?


Все в порядке с "последней" производной. Последняя, а точнее $n$-я производная - это и
есть сам многочлен Лежандра. ewert прав в том, что корней на границе у нее нет.
Но к ней мы и применять ничего не будем. А вот для $p^{(n-1)}$, как я и писал выше, $-1$ и $1$
будут простыми корнями. Кроме того, у нее будет $n-1$ корень на интервале $(-1,1)$. После
дифференцирования получим ровно $n$ различных корней на $(-1,1)$.

 
 
 
 
Сообщение03.09.2008, 21:19 
Спасибо, теперь понятно.
В частности, если вычислять производные, например

$p''=2n(n-1)(x^2-1)^n/(x^2-1)^2+ 2n(x^2-1)^n/(x^2-1)$.
То, при $n=2$ и постоянном коэффициенте в многочлене Лежандра


$c_n=$$1/(2^nn!)$, как раз получается
$(3x^2-1)$/$2$ - многочлен $P_2$. С другой стороны, его получают из реккуретной формулы.
В связи с этим вопросик:
Почему степень $x^n$ может быть представлена в виде линейной однородной функции от $P_0$, $P_1$, ..., $P_n$ с постоянными коэффициентами?

 
 
 
 
Сообщение03.09.2008, 21:47 
Аватара пользователя
e7e5 в сообщении #142528 писал(а):
Почему степень $x^n$ может быть представлена в виде линейной однородной функции от $P_0$, $P_1$, ..., $P_n$ с постоянными коэффициентами?
Потому, что первые n многочленов Лежандра образуют базис в пространстве всех многочленов степени не выше, чем n-1.

 
 
 
 
Сообщение04.09.2008, 02:13 
(только к эн надо прибавить единичку)

А верен этот факт опять же не из-за лежандровости, а просто потому, что степени этих многочленов монотонно возрастают. Ну стал быть они линейно независимы, а раз их ровно столько, сколько нужно -- то и базис.

Правда, я не понял, что значит "линейная однородная функция". Вообще-то принято говорить "линейная комбинация".

 
 
 
 
Сообщение05.09.2008, 21:20 
Brukvalub писал(а):
... первые n многочленов Лежандра образуют базис в пространстве всех многочленов степени не выше, чем n-1.


Возьмем для примера многочлен $Q(x)=$$x^2+3x+1$
1) Как показать, что этот многочлен является линейной комбинацией $P_3$?
2) Как найти координаты этого многочлена в указанном базисе?
3) Как записать матрицу перехода от указанного базиса при $n=2$ к ортонормированной системе?

Для п.1 понимаю так, $Q(x)$ нужно представить в виде
$\lambda_0$$P_0$+$\lambda_1$$P_1$+$\lambda_2$$P_2$+$\lambda_3$$P_3$
и найти числа "лямды". Правильно?

Для п.2 вот тут не уверен
Для п.3 - Сначала нужно нормировать базис . Прежде всего найти норму. Исходный ( ненормированный) базис будет отличаться от нормированного на "1/норму". Т.е матрица перехода будет - столбец из норм со своим значением при $n=0,1,2$ Идея в этом?

 
 
 
 
Сообщение05.09.2008, 21:47 
Аватара пользователя
e7e5 в сообщении #142794 писал(а):
Для п.1 понимаю так, $Q(x)$ нужно представить в виде
$\lambda_0$$P_0$+$\lambda_1$$P_1$+$\lambda_2$$P_2$+$\lambda_3$$P_3$
и найти числа "лямды". Правильно?
Да. Только слагаемых Вы взяли с избытком.
e7e5 в сообщении #142794 писал(а):
2) Как найти координаты этого многочлена в указанном базисе?
Коэффициенты разложения и являются координатами.
e7e5 в сообщении #142794 писал(а):
матрица перехода будет - столбец из норм со своим значением при $n=0,1,2$ Идея в этом?
Нет. Матрица перехода вседа является квадратной, поэтому столбцом она будет только в размерности 1. Но идея отнормировать многочлены 0 верная, просто Вам нужно подучить определение матрицы перехода.

 
 
 
 
Сообщение06.09.2008, 11:27 
Brukvalub писал(а):
e7e5 в сообщении #142794 писал(а):
Для п.1 понимаю так, $Q(x)$ нужно представить в виде
$\lambda_0$$P_0$+$\lambda_1$$P_1$+$\lambda_2$$P_2$+$\lambda_3$$P_3$
и найти числа "лямды". Правильно?
Да. Только слагаемых Вы взяли с избытком.


У меня получилось: $\lambda_0$=$4/3$, $\lambda_1$=$3$, $\lambda_2$=$2/3$
и координаты многочленa $Q(x)=$$x^2+3x+1$
в базисе многочленов Лежандра $n$=2 - есть указанные числа (4/3, 3, 2/3) - правильно получилось?

Добавлено спустя 28 минут 48 секунд:

Brukvalub писал(а):
Но идея отнормировать многочлены 0 верная, просто Вам нужно подучить определение матрицы перехода.


Нормы многочленов получились такие: $\sqrt2$, $\sqrt{2/3}$, $\sqrt{2/5}$)

Отсюда ортономированные многочлены Лежандра
1) $1/ \sqrt2$
2) $\sqrt{3/2}x$
3) $\sqrt{5/2}$$(3x^2-1)/2$
Помогите записать здесь квадратную матрицу перехода ( чтобы красиво было) - от базиса ненормированных многочленов Л. к ортонорированным?

 
 
 
 
Сообщение08.09.2008, 16:43 
e7e5 в сообщении #142828 писал(а):
Помогите записать здесь квадратную матрицу перехода ( чтобы красиво было) - от базиса ненормированных многочленов Л. к ортонорированным?


Подсказка: эта матрица будет диагональной.

 
 
 
 
Сообщение08.09.2008, 21:23 
Полчается такая матрица для перехода из нормированного пространства к ненормированному ?
\left \begin{array} {ccc}
x_{11}&0&0\\
0&x_{22}&0\\
0&0&x_{33}
\end{array}\right
где, $x_{11}$, $x_{22}$, $x_{33}$ суть числа

$\sqrt2$, $\sqrt{2/3}$, $\sqrt{2/5}$)

Как теперь, еще найти угол между номрированным и ненормированным многочленами Лежандра $n$=2, рассмотрев например скалярное произведение ? Так можно?

 
 
 
 
Сообщение08.09.2008, 21:31 
Аватара пользователя
e7e5 в сообщении #143199 писал(а):
Как теперь, еще найти угол между номрированным и ненормированным многочленами Лежандра $n$=2, рассмотрев например скалярное произведение ? Так можно?
Разве нормирование вектора изменяет его направление? :shock:

 
 
 
 
Сообщение08.09.2008, 21:56 
Brukvalub писал(а):
Разве нормирование вектора изменяет его направление? :shock:

Конечно не меняет. Ведь просто делим на норму, число. Вопрос, как угол все-таки искать. Ведь, если не меняется в таком простейшем случае, то какой-то другой способ нахождения угла приведет к этому результату.

Вопрос иначе: Найти угол между $P_2$ и многочленом $Q(x)$, заданным несколькими постами выше?

 
 
 
 
Сообщение08.09.2008, 22:45 
e7e5 в сообщении #143208 писал(а):
Конечно не меняет. Ведь просто делим на норму, число. Вопрос, как угол все-таки искать. Ведь, если не меняется в таком простейшем случае, то какой-то другой способ нахождения угла приведет к этому результату.

Вопрос иначе: Найти угол между $P_2$ и многочленом $Q(x)$, заданным несколькими постами выше?


Какая разница собственно $P_2$ или не $P_2$? Угол в Евклидовом пр-ве всегда можно определить из соотношения
$$
\cos\varphi=\frac{(p,q)}{\|p\|\|q\|}.
$$
Другое дело, что скалярное произведение в числителе просто удобно считать если у вас есть
разложение $p$ и $q$ в ортогональном базисе.

 
 
 [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group