Зорич: достаточные условия экстремума

[vpb]

Nemiroff в сообщении #1424732 писал(а):

По поводу второй производной. Если первая производная функции существует в точке, то почему бы не назвать второй производной в точке такое число $A$, что

$$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - \left[ f(x_0) + f'(x_0) h + \frac{1}{2} A h^2\right]}{h^2} = 0$$

Ну и правда, как пожелаем, так и сделаем. Что нам 4 тыс. лет математики, в т.ч. 4 века матанализа ? Кажется, у Оруэлла это называлось "покорение действительности". В двух словах это не прокомментировать, а я сейчас должен уйти, извиняюсь.

[pogulyat_vyshel]

vpb в сообщении #1424739 писал(а):

Ну и правда, как пожелаем, так и сделаем. Что нам 4 тыс. лет математики, в т.ч. 4 века матанализа ? Кажется, у Оруэлла это называлось "покорение действительности". В двух словах это не прокомментировать,

ну почему же? Если не приплетать сюда литературу, историю науки и прочие посторонние вещи, то прокомментировать очень легко: Nemiroff дал определение неэквивалентное стандартному. Это определение вполне естественно выглядит, не удивлюсь , если в какой-нибудь статье оно всплывает для каких-то надобностей. Самое вредное для математики это превращать ее в догму.

-- 08.11.2019, 22:00 --

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1424715 писал(а):

А ведь форум читают и неопытные студенты

мало ли ресурсов, которые читают студенты. Википедия, например. И что? И ничего не происходит.

[Brukvalub]

pogulyat_vyshel в сообщении #1424741 писал(а):

Nemiroff дал определение неэквивалентное стандартному. Это определение вполне естественно выглядит, не удивлюсь , если в какой-нибудь статье оно всплывает для каких-то надобностей.

Так можно рассуждать, если считать математический анализ чистой "игрой ума". Но:
1. Математический анализ создавался как инструмент для обслуживания прочих областей науки, физических, инженерных, экономических и прочих расчетов и исследований.
2. Термин "вторая производная функции в точке" уже занят тем определением, которое есть в стандартных учебниках.
3. Зачем заранее множить сущности без надобности? Вот когда кому-нибудь реально понадобится новое понимание второй производной, тогда и появится предмет для разговора.
Пока же обсуждается содержание учебника Зорича.

[oleg.k]

Brukvalub в сообщении #1424765 писал(а):

2. Термин "вторая производная функции в точке" уже занят тем определением, которое есть в стандартных учебниках.

В разных учебниках определения второй производной (как и других объектов) могут различаться. Какое из этих определений тогда считать "правильным"? И какой набор учебников имеет право называться "стандартным набором"? Учебник Зорича, например, "стандартный"? Можно, конечно, сказать, что есть математическая энциклопедия, и вот там то точно все "правильно". Но имхо все это формализм. Для меня факт наличия разных (но близких по смыслу) определений является демонстрацией того, что матан - это не просто какой-то набор фиксированных определений и теорем, а скорее совокупность очень плодотворных идей. И от того, что я "пошевелил" некоторые условия в определении второй производной, здание матана не развалилось, т.к. идеи какие были, такие и остались. Просто пару теорем, возможно, придется слегка подкорректировать.

[Brukvalub]

oleg.k, прежде, чем "шевелить и корректировать", разберитесь хотя бы в том, что до вас уже "нашевелили". В частности, ответьте на мой вопрос, который вы старательно игнорируете:

Brukvalub в сообщении #1424613 писал(а):

oleg.k, укажите точное место в учебнике Зорича, где сказано, что областью определения функции, заданной формулой, непременно нужно считать максимально возможное множество, на котором эта формула применима. Ведь вы именно это полагаете, приводя "контрпримеры" к определениям из Зорича непрерывности функций на множествах и т.п.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1424765 писал(а):

3. Зачем заранее множить сущности без надобности?

Надобность изобрести недолго, например, надобность методическая. Задача: придумать пример функции, которая не имеет второй производной в точке стандартном смысле ,но имеет вторую производную по Nemiroff По-моему, хорошая учебная задача

[Brukvalub]

pogulyat_vyshel в сообщении #1424781 писал(а):

Задача: придумать пример функции, которая не имеет второй производной в точке стандартном смысле ,но имеет вторую производную по Nemiroff По-моему, хорошая учебная задача

Это тривиальная задача: умножение функции Дирихле на достаточно высокую степень аргумента позволяет получить много-премного нулевых "производных" в нуле в подобном разложении. Чем этот факт замечателен и как он помогает методически - ума не приложу. На мой взгляд, такой подход, наоборот, запутывает первокурсника, предоставляя ему ложное понимание высших производных. Даже реально используемые альтернативные классическому способы суммирования рядов традиционно рассказываются в самом конце теории рядов, чтобы мухи отделялись от котлет.

[vpb]

pogulyat_vyshel в сообщении #1424741 писал(а):

Это определение вполне естественно выглядит, не удивлюсь , если в какой-нибудь статье оно всплывает для каких-то надобностей

Вполне. Только под названием "квазипроизводная" или типа того. Или вообще без названия употребляется, применительно к потребностям данного конкретного исследования. А называть это "вторая производная" --- вводить читателя в заблуждение.

-- 09.11.2019, 10:33 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1424741 писал(а):

Если не приплетать сюда литературу, историю науки и прочие посторонние вещи,

Ну, эти вещи не очень посторонние. Литература --- учебник жизни, а история науки к нашему форуму имеет непосредственное отношение. Например, знать, что такое "определение", как дал коллега, не приходило в голову даже Ньютону на заре развития предмета (точнее, даже в те времена равенство этого выражения второй производной --- это была теорема, а никоим образом не определение).

-- 09.11.2019, 10:41 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1424741 писал(а):

Самое вредное для математики это превращать ее в догму.

Это как "если Бога нет, всё позволено". Есть Бог, нет ли его --- люди по разному считают. Но поступать по принципу "что хочу, то и ворочу" --- всяко нехорошо. Математика растет, развивается, изменяется, но это не значит, что каждый может менять основные понятия и т.д. как в голову взбредет. Таких "революционеров" полон Пургаторий.

-- 09.11.2019, 11:07 --

pogulyat_vyshel
Также стоит упомянуть, что Вы путаете понятие "дать определение, неэквивалентное стандартному", с "подменить терминологию". Первое --- это иногда (но редко) встречающееся действие, совершенно законное. Второе же --- разновидность жульничества, может быть не вполне осознанного, но в каких-то интересах, чаще всего в карьерно-денежных. И то, что совершил Nemiroff, а до него ТС --- именно второго типа.

[oleg.k]

Brukvalub в сообщении #1424773 писал(а):

В частности, ответьте на мой вопрос, который вы старательно игнорируете:

Это не вопрос, а провокация.

Brukvalub в сообщении #1424613 писал(а):

oleg.k, укажите точное место в учебнике Зорича, где сказано, что

Укажите точное место в учебнике геометрии, где сказано, что квадрат не является арбузом. Абсурдных утверждений, подобных Вашему, можно придумать сколько угодно. И что теперь каждое из них отдельно обговаривать в учебниках? Определения на то и определения, чтобы точно и недвусмысленно определять те объекты, которые они определяют.

Brukvalub в сообщении #1424613 писал(а):

oleg.kчто областью определения функции, заданной формулой, непременно нужно считать максимально возможное множество, на котором эта формула применима.

Непременно так не нужно считать, т.к. задать функцию - это не только "написать формулу". Это еще и указать ее область определения и область значений.

Brukvalub в сообщении #1424613 писал(а):

Ведь вы именно это полагаете, приводя "контрпримеры" к определениям из Зорича непрерывности функций на множествах и т.п.

Нет, не это. Зорич сам явно указывает в определении функции, непрерывной на множестве, область определения этой самой функции и множество на котором она непрерывна. И эти множества совпадают. То, что я приводил - это не "контрпримеры", а примеры функций, которые не являются непрерывными на отрезке с т.з. определений Зорича, и вместе с этим это противоречит здравому смыслу.

То, что Вы задаете "вопрос", который уже обсуждался, и на который Вы же дали положительный ответ в сообщении post1411446.html#p1411446, иначе как провокацией назвать сложно.

-- 09.11.2019, 13:06 --

По поводу определений Зорича я уже писал следующее:

oleg.k в сообщении #1424454 писал(а):

Но очевидно, что это все просто искусственные ограничения. Я спокойно воспринимаю такой стиль изложения и для себя просто формулирую нормальные определения и теоремы.

Эти ограничения носят сугубо методический характер. У Зорича наверняка были причины формулировать определения именно таким образом. Возможно, это упрощает усвоение материала студентами, возможно еще что-нибудь. Но этот момент не содержит в себе никакого математического содержания. Он относится сугубо к преподаванию. Зачем Вы вместе с vpb третью страницу темы засоряете оффтопом, мне не понятно.

[vpb]

Скромненько замечу, что вот это утверждение

oleg.k в сообщении #1424454 писал(а):

По Зоричу, например, функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ не является равномерно непрерывной на отрезке $[1, 2]$. К этой функции даже теорему Больцано-Коши о промежуточном значении на отрезке $[-1, 1]$ нельзя (с т.з. определений Зорича) применять, т.к. по Зоричу она не является на нем непрерывной

, весьма провокационного характера, отнюдь не я или Brukvalub в тему притащили... Так что если вести речь об оффтопе, не мы его тут организовали. И не мы тут провокаторы.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1424802 писал(а):

Это как "если Бога нет, всё позволено

я вижу, коллега, вас шарахает от Оруэлла до Достоевского. Эдак вы в монастырь уйдете или свихнетесь.

[vpb]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel
Гм... А почему "шарахает" ? Перефразируя Шарикова, "согласный я с обоими". Т.е. для меня они оба выдающиеся писатели-гуманисты, хоть читал я их весьма мало.

[Brukvalub]

oleg.k, вы выше писали:

oleg.k в сообщении #1424454 писал(а):

По Зоричу, например, функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ не является равномерно непрерывной на отрезке $[1, 2]$. К этой функции даже теорему Больцано-Коши о промежуточном значении на отрезке $[-1, 1]$ нельзя (с т.з. определений Зорича) применять, т.к. по Зоричу она не является на нем непрерывной. Но очевидно, что это все просто искусственные ограничения.

Тем самым, вы приписываете Зоричу ваши фантазии. Укажите точно то место в учебнике Зорича, где он ЗАПРЕЩАЕТ сужать область определения функции и требует всякий раз рассматривать наибольшую возможную область определения функции, заданной формулой.
(про арбуз и квадрат спрашивать не буду).

[oleg.k]

Brukvalub в сообщении #1424851 писал(а):

Укажите точно то место в учебнике Зорича,

Глава IV, параграф 1, пункт 1, определение 3, страница 179.

Brukvalub в сообщении #1424851 писал(а):

где он ЗАПРЕЩАЕТ сужать область определения функции

Зорич не запрещает сужать область определения функции. Но в результате получится другая функция. Например, можно рассмотреть сужение $f|_{[1, 2]}: [1, 2] \to \mathbb{R}, f|_{[1, 2]}(x) = x$ функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ на отрезок $[1, 2]$. Но это будет уже другая функция $f|_{[1, 2]}$ (которую можно для краткости называть $g(x)$) и вот эта функция $f|_{[1, 2]}$ уже будет непрерывна на отрезке $[1, 2]$ по Зоричу. Но функция $f$ не будет.

Brukvalub в сообщении #1424851 писал(а):

и требует всякий раз рассматривать наибольшую возможную область определения функции, заданной формулой.

На это я уже ответил.

oleg.k в сообщении #1424827 писал(а):

т.к. задать функцию - это не только "написать формулу". Это еще и указать ее область определения и область значений.

Зачем Вы во второй раз спрашиваете про область определения функции, которая явно указана в определении? Зорич такого нигде не требует. Он просто явно указывает область определения во избежание двусмысленной трактовки.

[Brukvalub]

oleg.k в сообщении #1424857 писал(а):

Зачем Вы во второй раз спрашиваете про область определения функции, которая явно указана в определении? Зорич такого нигде не требует. Он просто явно указывает область определения во избежание двусмысленной трактовки.

Зорич просто заменяет слова "наложим на функцию, определенную на таком-то множестве такие-то условия" символом. Какие здесь могут быть трудности в понимании?