комплексные числа

[new_sergei]

Здравствуйте.
Пожалуйста, не бейте меня ногами, но не могу понять элементарную вещь.
Нужно посчитать

\[ \mathop {\lim }\limits_{z \to - i} \frac{{1 - z}}{{\left( {z - 3} \right)^3 }} \]

В ответе стоит

\[ \frac{{ - 11 + 2i}}{{250}} \]

Но у меня так не получается.
Не могу понять, как правильно это посчитать.
Ведь в предел сразу можно подставлять значение

\[ - i \]

Тогда получится

\[ \frac{{1 + i}}{{\left( { - i - 3} \right)^3 }} \]

Не могли бы вы объяснить, как нужно правильно считать это выражение?

[Henrylee]

Умножьте числитель и знаменатель на $(i-3)^3$.

[TOTAL]

new_sergei писал(а):

Не могли бы вы объяснить, как нужно правильно считать это выражение?

Во сколько раз ваш ответ отличается от правильного?

[new_sergei]

Спасибо за ответы. Но что-то у меня опять ничего не получается.
Домножил числитель и знаменатель. В результате получилось

\[ \frac{{1 + i}}{{\left( { - i - 3} \right)^3 }} = - \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {i - 3} \right)^3 }}{{\left( {i + 3} \right)^3 \left( {i - 3} \right)^3 }} = - \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {i - 3} \right)^3 }}{{\left( {i - 3} \right)^6 }}; \]

Дальше моей фантазии не хватает. Какой следующий щаг?

[PAV]

Судя по последнему переходу, Вы считаете, что $i-3$ и $i+3$ - это одно и то же число?

[new_sergei]

Нет, я так не считаю.
Да, тут я накосячил
Правильно будет

\[ \frac{{1 + i}}{{\left( { - i - 3} \right)^3 }} = - \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {i - 3} \right)^3 }}{{\left( {i + 3} \right)^3 \left( {i - 3} \right)^3 }} \]

А что дальше?

[Brukvalub]

Дальше нужно просто считать.

[AD]

Теперь раскрывайте скобочки: в числителе - совсем, в знаменателе - тоже совсем, но сначала сообразите, чему равно $(i+3)(i-3)$ (в этом и соль ...)

[Бодигрим]

В качестве напоминания и проверки: $z\bar z=|z|^2$ - вам понятны и известны все символы, входящие в это тождество?

[new_sergei]

Спасибо всем за помощь.
В общем, у меня кое-что получилось, не не всё.

\[ \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {i - 3} \right)^3 }}{{\left| {\left( {i + 3} \right)} \right|^6 }} = \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {i^3 - 3i^2 \cdot 3 + 3i \cdot 9 - 27} \right)}}{{i^6 + 6i^2 \cdot 3 + 15i^4 \cdot 9 + 20i^3 \cdot 27 + 15i^2 \cdot 81 + 6i \cdot 243 + 729}} = \frac{{ - \left( {8i - 44} \right)}}{{ - 370 + 918i}} = \frac{{ - 4\left( {11 - 2i} \right)}}{{ - 370 + 918i}}; \]

Как привести к нужному результату?

[bubu gaga]

new_sergei писал(а):

Нет, я так не считаю.
Да, тут я накосячил
Правильно будет

\[ \frac{{1 + i}}{{\left( { - i - 3} \right)^3 }} = - \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {i - 3} \right)^3 }}{{\left( {i + 3} \right)^3 \left( {i - 3} \right)^3 }} \]

А что дальше?

$$ (i + 3)^3 \, (i - 3)^3 = \bigl( (i + 3)(i - 3) \bigr) ^3 $$

Внутри перемножьте, получите действительное число. Потом этот результат можно будет использовать и для числителя

[Really]

У вас в знаменателе стоит модуль комплексного числа, а вы просто
возводите $(i+3)$ в шестую степень. Это не верно.
Вам надо посчитать чему равно $|x+3|^2$, а затем возвести это вещественное число в куб.

[new_sergei]

Спасиюо всем, кто помогал.
Наконец, получилось
Но мне не понятно, почему сразу нельзя было возвести в 6-ую степень?

\[ \frac{{4(11 - 2i)}}{{\left( {\left( {i + 3} \right)\left( {i - 3} \right)} \right)^3 }} = \frac{{4(11 - 2i)}}{{\left( {i^2 - 3i + 3i - 9} \right)^3 }} = \frac{{4(11 - 2i)}}{{\left( {i^2 - 9} \right)^3 }} = \frac{{4(11 - 2i)}}{{i^6 - 3i^4 \cdot 9 + 3i^2 \cdot 81 - 729}} = \frac{{4(11 - 2i)}}{{ - 1 - 27 - 243 - 729}} = \frac{{4(11 - 2i)}}{{ - 1000}} = \frac{{2i - 11}}{{250}}; \]

[Echo-Off]

Вот, смотрите, как проще.

$$(i^2-9)^3 = (-1-9)^3 = (-10)^3 = -1000$$

[Алексей К.]

new_sergei в сообщении #142777 писал(а):

Но мне не понятно, почему сразу нельзя было возвести в 6-ую степень?

Можно, и Вы это блестяще проделали (кроме того, что столь длинная формула делает всю страницу слишком широкой и неудобочитаемой).
Но необходимо, чтобы глаз замечал выражения типа $(a+b)(a-b)$ (поданные, возможно в виде $(a+b)^3(a-b)^3$ или даже $(a+b)^3(a-b)^5$), останавливался на них и включал думалку: а не воспользоваться ли тем, что это равно $a^2-b^2$? Надеюсь, рассмотренный выше пример Вас убедил, что здесь так проще.

Добавлено спустя 5 минут 47 секунд:

\[ \frac{{4(11 - 2i)}}{{\left( {\left( {i + 3} \right)\left( {i - 3} \right)} \right)^3 }} = \frac{{4(11 - 2i)}}{{\left( {i^2 - 9} \right)^3 }} = \frac{{4(11 - 2i)}}{(-1-9)^3} = \frac{{4(11 - 2i)}}{-10^3} = \frac{{2i - 11}}{{250}} \quad\mbox{(заметно короче);} \]