Хотя я всё равно пока не понял, в любом ли случае комплексификация даёт получить ответ.
К полю комплексных чисел мы переходим как результат преобразования Фурье во временной области. В каждое уравнение входит одна частная производная по времени, так что, они должны отделиться легко и без преобразований частот. Меня больше беспокоит, не могут ли некоторые компоненты в волновом фронте иметь непостоянные фазы? Успокаиваю себя тем, что в пространстве высокой симметрии это было бы странно.
Кстати, в (3-1)-мерии уравнения Максвелла в вакууме для гармонического векторного потенциала сводятся к независимым уравнениям Гельмгольца для его компонент. Может быть, и в (4,1)-мерии так же? Правда, припоминаю, что рассматривались два векторных потенциала: электрический и магнитный, и в волноводах они дают различные моды. Эта двойственность и смущает при рассмотрении возможных магнитно-магнитных мод в свободном пространстве.
Кстати, да, то, что у всех компонент в волне будут одинаковые частоты (или что можно выбрать базис из таких решений), нужно ещё доказать.
