Комплексные числа в геометрии

[nnosipov]

arseniiv
Вы изобретаете велосипед. Получается при этом самокат.

arseniiv в сообщении #1424420 писал(а):

мы могли получить, что биссектрисы того и того угла перпендикулярны, а не совпадают как прямые.

Вот именно поэтому так, как Вы пишите, делать не надо. Если нам нужны биссектрисы данного треугольника (т.е., мы хотим отличать биссектрисы от внешних биссектрис), то задавать исходный треугольник его вершинами плохо. Нужна другая параметризация, при которой этой неоднозначности не возникает.

arseniiv в сообщении #1424420 писал(а):

получились бы совсем инвариантные выкладки, но длиннее

И кому нужна здесь эта инвариантность? Наоборот, борьба идет за то, чтобы вычислений было поменьше. Цель --- верификация результата, а не открытие/понимание новых геометрических фактов (этим надо заниматься в геометрии). А у Вас и не то, и не это.

[Sicker]

Кстати, биссектрисы вообще не нужны, т.к. в том выражении ТС $p^2$ даст прямой угол, и надо перемножить только $m$ и $h$

[wrest]

(Оффтоп)

SNet в сообщении #1424392 писал(а):

Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины

Другая формулировка: "В неравнобедренном треугольнике одна из симедиан совпадает с высотой тогда и только тогда, когда этот треугольник – прямоугольный."
Вдруг пригодится когда...

[ET]

arseniiv в сообщении #1424420 писал(а):

SNet в сообщении #1424392 писал(а):

с неравными катетами

Кстати ненужная оговорка. Она убирает случай, когда угол между высотой и медианой нулевой, но и углы между высотой и биссектрисой и биссектрисой и медианой тоже по нулям, так что всё ещё делит пополам. Наверняка решение этот случай никак не будет выделять.

Да конечно не будет. В уме видно, что если прямоугольный треугольник с вершинами $0$, $a$, $bi$ , то медиана ведет в сторону $a+bi$ , а высота в сторону $(a-bi)\cdot i$ Угол между ними посередине - это среднее геометрическое. Несложно в уме видеть, что произведение высота на медиану чисто мнимое, те между ними посередине будет биссектриса прямого угла

[nnosipov]

Введем комплексную плоскость так, что точки касания вписанной окружности с катетами будут $1$ и $i$ (они лежат напротив вершин $A$ и $B$ соответственно; начало координат $0$ --- это, таким образом, центр вписанной окружности). Тогда $C=1+i$ --- вершина прямого угла. Пусть третья точка касания (с гипотенузой $AB$) --- это $z$. Имеем

$$ A=\frac{2iz}{z+i}, \quad B=\frac{2z}{z+1}. $$

Далее вычисляются $M=(A+B)/2$ --- середина гипотенузы, $H$ --- основание высоты, проведенной из вершины $C$ (ТС рекомендуется проделать вычисления). После этого мы должны проверить вещественность отношения

$$ t=\frac{0-C}{M-C}:\frac{H-C}{0-C}=\frac{2(z+i)(z+1)}{(z-i)(z-1)}. $$

Важно: все вычисления происходят в поле рациональных дробей от $z$ с коэффициентами из $\mathbb{Q}(i)$. Как следствие, верификация равенств (типа $t-\overline{t}=0$) производится по очень простому алгоритму. Таким образом, решение задачи сводится к написанию программы вычислений и итоговому zero-тесту (все это делается не приходя в сознание механически).

Почему параметризация $A=-1$, $C=z$, $B=1$ (начало координат --- центр описанной окружности) хуже? Чтобы выписать вектор, отвечающий за направление биссектрисы угла $C$, придется иметь дело либо с более сложными выражениями, чем рациональные дроби над $\mathbb{Q}(i)$, либо расширять поле коэффициентов до $\mathbb{Q}(i,\zeta)$, где $\zeta=\cos{45^\circ}+i\sin{45^\circ}$ (комплексное число, отвечающее за поворот на $45^\circ$). Конечно, в данном случае это не проблема (из-за простоты конфигурации), но в более сложных ситуациях итоговый zero-тест может быть затруднен.

И еще одно замечание: применять эту методику для решения геометрических задач на олимпиадах не стоит (по понятным причинам).

[arseniiv]

nnosipov в сообщении #1424478 писал(а):

Вы изобретаете велосипед. Получается при этом самокат.

Да, я такие задачи на комплексной плоскости не решал, так что что в голову приходило, то и писал. Но если бы я сначала додумался до отражения, скорее всего вышло бы сильно лучше.

[nnosipov]

Вот еще один свеженький пример по теме --- problem 6 from IMO 2019. Я не предлагаю ее решать, но, просто дочитав условие до конца, попробуйте понять, что она принципиально не сложнее той задачи, что мы здесь обсуждаем.

Let $I$ be the incentre of acute triangle $ABC$ with $AB \neq AC$. The incircle $\omega$ of $ABC$ is tangent to sides $BC$, $CA$, and $AB$ at $D$, $E$, and $F$, respectively. The line through $D$ perpendicular to $EF$ meets $\omega$ again at $R$. Line $AR$ meets $\omega$ again at $P$. The circumcircles of triangles $PCE$ and $PBF$ meet again at $Q$. Prove that lines $DI$ and $PQ$ meet on the line through $A$ perpendicular to $AI$.

Будет ли обычное (синтетическое) решение этой задачи логически столь же простым? Вряд ли. Все-таки IMO и последняя задача.

[SNet]

nnosipov
Я прочитал вашу статью, спасибо большое. Есть ли ещё какие-то книги кроме Понарина по сабжу?

[nnosipov]

SNet в сообщении #1424557 писал(а):

Есть ли ещё какие-то книги кроме Понарина по сабжу?

Посмотрите книгу [3] в списке литературы. Там целая глава посвящена методу комплексных чисел. Автор даже без компьютера обходится при вычислениях.

[SNet]

nnosipov
Благодарю. А существуют ли подобные методы для каких-нибудь $\mathbb{R}^n$?

[nnosipov]

SNet в сообщении #1424562 писал(а):

А существуют ли подобные методы для каких-нибудь $\mathbb{R}^n$?

Прямых аналогий нет, так что на халяву решать 3-мерные (даже) задачи не выйдет (разве что обычным координатным методом). Но кое-что есть. Про эти дела пусть Вам лучше arseniiv расскажет.

[wrest]

(Оффтоп)

nnosipov
Там слово "acute" лишнее, кажись.

[nnosipov]

(Оффтоп)

wrest
Да, конечно. Это стандартная вещь для олимпиадных задач: вводят лишние условия, чтобы при традиционном (геометрическом) методе решения не приходилось разбирать несколько однотипных случаев (картинки для остро- и тупоугольного треугольников могут быть разные).

[arseniiv]

М-м, про многомерие… Подобные — это смотря какие. Если хочется поверить алгеброй гармонию, то во-первых у нас есть внешняя алгебра (которую и для плоскости можно использовать; «псевдоскалярное произведение» векторов, определяемое в координатах $x_1y_2 - x_2y_1$ — это выражение внешнего произведения в правом базисе), но она позволяет считать только вещи, связанные с линейной независимостью и подпространствами конечной размерности. Если у нас есть скалярное произведение, его можно поднять на однородные элементы внешней алгебры и считать площади-объёмы параллелепипедов и вообще многогранников. Введя после этого звёздочку Ходжа, можно как минимум считать ортогональные дополнения. Если вложить интересное нам точечное пространство в линейное большей размерности, мы сможем например находить прямую, проходящую через две точки, а потом пересекать её с другой, беря внешние произведения и применяя звёздочку к элементам внешней алгебры большого пространства, рассматриваемым с точностью до умножения на скаляр (то есть вообще говоря работая в проективном пространстве).

Хитрее внешней алгебры будет алгебра Клиффорда, которая определяется не просто для линейного пространства, а для линейного пространства с квадратичной формой (как понимаю, нас здесь интересует евклидово пространство — там это квадрат длины), так что её не придётся «добавлять отдельно»; выразить можно будет и звёздочку Ходжа (задав ориентацию — но это требуется и для обычного определения). Здесь мы сможем чисто алгебраически выражать отражения и повороты [линейного, не точечного пространства]; но на практике всё-таки придётся ввести в рассмотрение кучку разных дополнительных операций, одним только умножением не наешься (хотя это можно немного сравнить с тем же $\mathbb C$, где мы вполне можем оторвать из $z\bar w$ вещественную и мнимую часть как отдельные полезные сами по себе произведения).

Опять мы можем сделать трюк с проективным пространством, чтобы считать к примеру расстояния или углы между прямыми или там углы, кроме точек пересечения. Можно даже увеличить размерность не на 1, а на 2 и получить какую-то пользу в работе со сферами и окружностями, но тут я плохо пока разбираюсь в основаниях этого и тем более не могу посоветовать источник, за который мог бы поручиться.

Наконец, кватернионы могут пригодиться для трёхмерных и четырёхмерных вещей. Комплексные числа и кватернионы и двойные кватернионы $\mathbb H\oplus\mathbb H$ изоморфны чётным подалгебрам Клиффорда для 2-, 3- и 4-мерного евклидовых пространств и позволяют описывать вращения (вообще собственные ортогональные преобразования) на ура, а вот отражения и другие несобственные о. преобразования более-менее удобно можно только для случая $\mathbb C$, и лишь потому, что комплексные числа при этом описывают и сами векторы плоскости и нам пригождается сопряжение. В остальных случаях придётся рассматривать всю целиком алгебру Клиффорда, которая в два раза размернее.

Ещё плюс если вдруг заинтересуют симплектические формы, в которых я совершенно не разбираюсь, для них есть похожее обобщение симметрической алгебры (самой по себе аналогичной внешней алгебре) — алгебра Вейля.

По а. К. есть курс Вавилова на ютубе (за изначальную ссылку на этом форуме на который спасибо вроде бы Munin), но я его всё никак не посмотрю. Там, правда, приложения к элементарной геометрии вряд ли занимают большую часть. (Я вот надеюсь на спиноры, например.) Базовые же определения есть даже в Кострикине, Манине.

Ну и плюс к плюсу, вроде бы были ещё какие-то алгебраические штучки, особенно для каких-нибудь отдельных размерностей, но сейчас вообще не помню.