Задача на работу

[Eiffel]

Добрый день!

Прошу помочь со следующей задачей. Попытка решения содержится уже в самом тексте.

В ряд стоит три бочки объемами $V_1$, $V_2$ и $V_3$ соответственно. Из первой бочки с постоянной скоростью $x$ вытекает вода, а во вторую и третью бочки вода поступает с постоянными скоростями $y$ и $z$ соответственно. Первоначально известно, что $V_1=V_2+V_3$. Через некоторый промежуток $p$ во второй бочке объем воды стал равным объемам в первой и третьей бочках вместе, т.е. $V_2+yp=V_1-xp+V_3+zp$. А еще через некоторый промежуток времени $q$ в третьей бочке объем воды стал равным объемам в первой и второй бочках вместе, т.е. $V_3+zp+zq=V_1-xp-xq+V_2+yp+yq$. Может ли быть, что ни в какой из рассматриваемых моментов в задаче ни одна бочка не была пустой?

Т.е. по сути у меня получилась система:

$$ \begin{cases} V_1=V_2+V_3,\\ V_2+yp=V_1-xp+V_3+zp,\\ V_3+zp+zq=V_1-xp-xq+V_2+yp+yq. \end{cases} $$

После всех преобразований получилось вот такое уравнение: $2-2xp-xq=zq-yq$. Еще по задаче понятно, что $z>y$ и $V_3<V_2$. Собственно есть ощущение, что такого момента не настанет, но доказать этого не могу. Подскажите, пожалуйста, как это сделать.

[Eiffel]

Или может быть как-то по-другому вообще искать противоречие стоит?

[gris]

по привычке помоделировал задачу натурно, то есть в эксельке. иногда полезно
Выскажу некоторые наивные предположения. Можно отдельно рассмотреть случай, когда в самом начале вторая или третья бочка пуста. Второй случай, когда опустошается первая бочка и с этого момента остаётся пустой. Могут ли после этого возникнуть искомая ситуация, то есть сравняются объёмы второй и третьей бочек.
В порядке шутки: в задаче под объёмом бочки понимается объём воды в ней. Но физически бочка имеет свой ограниченный объём. И если бочки идеально одинаковы, то искомая ситуация неизбежно возникнет, когда первая бочка опустошится, а вторая и третья заполнятся до краёв и станут переливаться
пока всё
по невнимательности я подумал о противоположной ситуации: может ли при возникновении равенства одна из бочек быть пустой

[EUgeneUS]

Eiffel в сообщении #1423915 писал(а):

После всех преобразований получилось вот такое уравнение: $2-2xp-xq=zq-yq$.

Тут какая-то беда с размерностью.

-- 05.11.2019, 09:39 --

Если подставить (1) последовательно в (2) и (3), получаем, соответственно $V_3(x, y, z, p)$ и $V_2(x, y, z, p, q)$ - начальные объемы в третьей и второй бочках в зависимости от параметров задачи. Причем в обоих выражениях начальные объемы бочек исключились.

Далее почти очевидно.

[Xmas]

Я бы предложил следующий вариант решения.

Необязательно, но во избежание случайных заблуждений, переименовать скорости изменения объёмов из $x,y,z$ в $u,v,w$.
Текущие объёмы бочек обозначить символами $o_1,o_2,o_3$.

Выразить время, в которое $i$-я бочка приобретает объём $o_i$. Получатся уравнения:

\[ \left\{\begin{aligned} t_1 &= \frac{V_1-o_1}{u}\\ t_2 &= \frac{o_2}{v}\\ t_3 &= \frac{o_3}{w} \end{aligned} \right. \]

Сюда же можно добавить условия: $t_1\geqslant 0, o_2 \leqslant V_2, o_3 \leqslant V_3$.

Все три времени должны совпадать. Получается уравнение прямой в пространстве:

\[\frac{V_1-o_1}{u}=\frac{o_2}{v}=\frac{o_3}{w}\]

Координаты пространства - объёмы $o_1, o_2, o_3$. Прямая проходит через точку $(V_1,0,0)$ с наклонами, определяемыми скоростями $u,v,w$. Условия для моментов времени $p$ и $q$ - это уравнения плоскостей в 3-мерном пространстве. Ограничения по объёмам - тоже выражаются плоскостями. По-моему, дальнейший анализ должен быть очевидным.

[EUgeneUS]

Xmas
Ваш способ, конечно, приведет к верному ответу. Обязан привести.
Но, имхо, проще продолжить решение ТС (с того места, где он еще не ошибся).
А именно:
1. Дополнить систему неравенствами: $p, q, x, y, z > 0$ - все параметры положительны.
2. Дополнить систему неравенствами:
$V_2, V_3 > 0$ - в начальный момент времени вторая и третья бочки не пусты (далее объем жижи в них только растет)
$V_1 - (p+q)x > 0$ - в момент времени $p+q$ первая бочка не пуста (в более ранние моменты времени объем жижи в ней будет больше).

[Eiffel]

EUgeneUS, продолжил, следуя Вашим указаниям и получил:

$$V_3=\frac{p(x+y-z)}{2}, \quad V_2=\frac{(x+z-y)(p+q)}{2}.$$

Далее анализирую, но пока к противоречию не пришёл. Из системы ясно, что $x+y-z>0, \quad (x+z-y)>0.$

[EUgeneUS]

Eiffel
В первом неравенстве можно перейти к $ x + y - z > 0$, в силу $p>0$

-- 05.11.2019, 20:14 --

Далее, используя найденные выражения для $V_2, V_3$, запишите неравенство:

EUgeneUS в сообщении #1424074 писал(а):

$V_1 - (p+q)x > 0$

И упростите его.

[Eiffel]

EUgeneUS, да, нечаянно оставил $p$.

Все понятно теперь, огромное спасибо!