Боровская модель атома

[SVD-d]

Обсуждая что-то в соседней теме заглянул в очередную книжку, где говорилось про водородоподобную модель. И вспомнил старую историю, которая периодически всплывает.

Всем известная штука. В далёком 1913 году Бор предлагает считать устойчивыми только те орбиты электронов, на которых укладывается целое число длин волн. Ну, или момент импульса для которой равен целому числу в единицах постоянной Планка - что по сути одно и то же. И исходя из этого получает энергию основного состояния электрона - и следующих за ним.
Для планетарной модели атома это было логично, понятно и естественно. Ладно, предположение что находясь на устойчивой орбите электрон не излучает - это тонкое место, но за неимением лучшего этим можно было пользоваться. Тем более что в виде рукомахательства можно было говорить, что во время одной полуволны электрон излучает в одну сторону, а во время второй - в другую, и излучения компенсируются.

Потом пришла квантовая механика, и энергия электрона уже была посчитана честно, через нахождение волновой функции электрона в потенциальном поле, образуемом ядром атома. И ответ для атома водорода - что забавно - совпадает с посчитанным Бором.

Возникает неловкий вопрос. Как так получилось? Почему использование неправильной модели (планетарная модель неверна со всей очевидностью) и явно необоснованного постулата (в те времена он был явно подозрителен) дало правильный ответ? Хотя бы в таком, модельном случае?

[iifat]

Почему бы вам не начать с чего попроще, а там уж, может, и со сложными случаями яснее станет.
Вот беру я часы, и останавливаю. И — о чудо! — в один (или два, какая шкала) неловкий момент они показывают абсолютно точное время!

[Pphantom]

Так ведь сериальные формулы для атома водорода (и обобщающая их формула Ридберга) были известны задолго до этого. Соответственно, Бору в общем-то надо было подогнать решение под уже известный численно ответ, и при невозможности это сделать модель Бора просто "не пошла" бы.

[Pavia]

SVD-d

SVD-d в сообщении #1423399 писал(а):

Для планетарной модели атома это было логично, понятно и естественно.

И в чем же естественность? Для школьников устойчивость зависит от скорости(первая космическая).
А вот то что там разный уровень барьера, и есть энергетические ямы, в которых застревают электроны, а следовательно нужно приложить разную энергию будет известно после КМ. Опыта Франка — Герца, 1914 демонстрирующие существование критических
потенциалов.

SVD-d в сообщении #1423399 писал(а):

дало правильный ответ? Хотя бы в таком, модельном случае?

Модели имеют придел применения. Та же волновая теория(КМ) плохо описывает движение свободных электронов. И дает не верное(фиктивное) представление о вероятности найти электрон в двух щелях одновременно. Зато очень хорошо позволяет считать физические свойства химических веществ.

SVD-d в сообщении #1423399 писал(а):

была посчитана честно

Сепарабельность и случайность были приняты на веру.

SVD-d в сообщении #1423399 писал(а):

И ответ для атома водорода - что забавно - совпадает с посчитанным Бором.

Волновое уравнение составляется проще говоря угадывается. Так вот в основу волнового уравнения для расчёта орбиталей ложатся расчёты Бора. Поэтому нет ничего удивительного, что они совпадают.

См. Phillips - Introduction to Quantum Mechanics.

Т.е Бор интуитивно понимал как внутри устроен атом, но не мог точно посчитать, а за него посчитали другие и наши в его интуиции недочёты.

[amon]

SVD-d в сообщении #1423399 писал(а):

И ответ для атома водорода - что забавно - совпадает с посчитанным Бором.Возникает неловкий вопрос. Как так получилось?

Вопрос хороший, но хорошего ответа на него я (а может быть и остальные) не знаю. Эта история началась еще раньше - с опытов Резерфорда и планетарной модели атома. Резерфорд для расчетов пользовался классической формулой для сечения рассеяния. Потом, в квантовой механике, было разработано квазиклассическое приближение, в котором обосновывается формула квантования Бора. Все было бы хорошо, но для кулоновского потенциала это приближение строго неприменимо. Поэтому кулоновскую задачу надо решать точно (благо, она решается), и, продравшись через гипергеометрические функции, с изумлением убедиться, что ответ совпадает с квазиклассическим. Вот так господь бог тут нам подставился. Иначе мы до сих пор гадали бы как устроены атомы.

[SVD-d]

iifat в сообщении #1423407 писал(а):

Вот беру я часы, и останавливаю. И — о чудо! — в один (или два, какая шкала) неловкий момент они показывают абсолютно точное время!

Pphantom в сообщении #1423408 писал(а):

Соответственно, Бору в общем-то надо было подогнать решение под уже известный численно ответ

Я не сомневаюсь в том, что беря за основу неверные данные модно получить в результате что угодно, в том числе и верный ответ. Но согласитесь, угадать верную формулу - это немного сложнее, чем угадать число.

Собственно, проблема-то не в том, что при должном старании можно подсмотреть в конце задачника правильный набор числел и придумать формулу, которая его опишет. А в том, что эта формула оказывается не только придумываема, но и выводима, причём, выводима вполне последовательно, из вполне логичных на тот момент представлений. Можно, конечно, говорить, что это - случайно так совпало. Но такие совпадения в физике случаются далеко не каждый день.

[amon]

SVD-d в сообщении #1423437 писал(а):

Можно, конечно, говорить, что это - случайно так совпало. Но такие совпадения в физике случаются далеко не каждый день.

Тут можно подумать в таком направлении (самому пока лень было). Еще один пример совпадения квазиклассики с точным результатом - гармонический осциллятор. Для него причина совпадения понятна - гамильтониан квадратичен по координатам и импульсам, и в этом случае квазиклассика совпадает с точным решением. Известно, что существует преобразование координат и времени, делающее из Кулона осциллятор. Имеет ли это отношение к совпадению квазиклассического квантования в Кулоне с точным я не знаю, но подозреваю, что какое-то имеет.

[DimaM]

amon в сообщении #1423454 писал(а):

Еще один пример совпадения квазиклассики с точным результатом - гармонический осциллятор. Для него причина совпадения понятна - гамильтониан квадратичен по координатам и импульсам, и в этом случае квазиклассика совпадает с точным решением.

В квазиклассике же не получается нулевых колебаний. То есть ступеньки по энергии правильные, но начальный уровень - нет.

SVD-d в сообщении #1423399 писал(а):

Потом пришла квантовая механика, и энергия электрона уже была посчитана честно, через нахождение волновой функции электрона в потенциальном поле, образуемом ядром атома. И ответ для атома водорода - что забавно - совпадает с посчитанным Бором.

Энергия-то совпадает, а вот момент импульса - отнюдь. Что для студентов может быть изрядной проблемой.

[amon]

DimaM в сообщении #1424052 писал(а):

В квазиклассике же не получается нулевых колебаний.

С поправкой Зоммерфельда получается. Проще всего это объяснить на не к ночи помянутых функциональных интегралах. Функция Грина уравнения Шредингера это

$$G(x,t;x_0,t_0)=\int Dx(t) e^{\frac{i}{\hbar}S[x(t)]},$$

где $S$ - действие рассматриваемой системы. Квазиклассика соответствует "перевальному" разложению экспоненты в функциональный ряд по степеням $x(t)$ в окрестности классического решения, в котором оставляется только квадратичный по вариационным производным член. Для квадратичного по $x$ действия ответ совпадет с точным. Значит квазиклассическая энергия, получаемая некими пассами из функции Грина, тоже будет точной.

[madschumacher]

SVD-d в сообщении #1423399 писал(а):

В далёком 1913 году Бор предлагает считать устойчивыми только те орбиты электронов, на которых укладывается целое число длин волн.

Бор такого ничего не предлагал. Де Бройль предложил свою концепцию только в 1923-1924 годах..

Pavia в сообщении #1423426 писал(а):

Та же волновая теория(КМ) плохо описывает движение свободных электронов.

Что, простите?!

Pavia в сообщении #1423426 писал(а):

И дает не верное(фиктивное) представление о вероятности найти электрон в двух щелях одновременно.

Будь это так, электронная (и нейтронная) дифракции не были бы столь широко применяемыми методами.

Pavia в сообщении #1423426 писал(а):

Так вот в основу волнового уравнения для расчёта орбиталей ложатся расчёты Бора.

И это тоже враньё.

(Оффтоп)

Всем и так понятно, что там чушь, но почему-то все проигнорили это, а левый человек, читающий это может принять всё за чистую монету.