Хатчер. Применение теоремы Борсука-Улама.

[mark009]

Добрый вечер.
Пытаюсь решить следующую задачу из книги А.Хатчера "Алгебраическая топология":
Пусть $A_1, A_2, A_3$ компактные множества в $\mathbb{R}^3$. С помощью теоремы Борсука-Улама покажите, что существует плоскость $P\subset \mathbb{R}^3$, которая делит каждое множество $A_i$, на две части одинаковой меры.

Как для двух множеств вроде понятно. Рассматриваем все плоскости которые проходят через 0, параметризуем их нормальным вектором и строим соответственно две функции $f_i:S^2 \to \mathbb{R}$, где каждая $f_i$ возвращает отношение меры части множества $A_i$, находящейся над плоскостью, к мере всего множества. Применяя теорему Борсука-Улама, получаем необходимое.

С тремя уже не так очевидно ибо тут уже плоскостью проходящей через 0 не обойтись и непонятно что делать.

[DeBill]

mark009
Вам нужно параметризовать не просто плоскости, а "полупространства", ограниченные плоскостями, да?
Может, попробовать задавать их (полупространства) неравенствами вида $Ax+By+Cz+D >0$ с нормировкой типа "сумма квадратов ВСЕХ к-тов равна 1" ?

-- 01.11.2019, 01:25 --

Ой, со "ВСЕХ" - это что-то не очень хорошее будет... Хотя - может, и можно починить, только придется немного напрячься с вырожденными полупространствами (для которых $D=\pm 1$)- на предмет продолжения туда (по непрерывности ) Ваших функций...

[Dan B-Yallay]

DeBill в сообщении #1423352 писал(а):

Может, попробовать задавать их (полупространства) неравенствами вида $Ax+By+Cz+D >0$ с нормировкой типа "сумма квадратов ВСЕХ к-тов равна 1" ?

Если ноль переместить внутрь выпуклой оболочки указанных компактов, то коэффициент $D$ вроде как становится ненужным?

[mark009]

Dan B-Yallay в сообщении #1423353 писал(а):

DeBill в сообщении #1423352 писал(а):

Может, попробовать задавать их (полупространства) неравенствами вида $Ax+By+Cz+D >0$ с нормировкой типа "сумма квадратов ВСЕХ к-тов равна 1" ?

Если ноль переместить внутрь выпуклой оболочки указанных компактов, то коэффициент $D$ вроде как становится ненужным?

Все-таки идея с $D$ мне как-то больше нравится т.к. тогда можно построить аналогичное моему отображение $S^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$.

-- 01.11.2019, 00:05 --

DeBill в сообщении #1423352 писал(а):

mark009
Вам нужно параметризовать не просто плоскости, а "полупространства", ограниченные плоскостями, да?
Может, попробовать задавать их (полупространства) неравенствами вида $Ax+By+Cz+D >0$ с нормировкой типа "сумма квадратов ВСЕХ к-тов равна 1" ?

-- 01.11.2019, 01:25 --

Ой, со "ВСЕХ" - это что-то не очень хорошее будет... Хотя - может, и можно починить, только придется немного напрячься с вырожденными полупространствами (для которых $D=\pm 1$)- на предмет продолжения туда (по непрерывности ) Ваших функций...

Эти вырождения легко обходятся в силу ограниченности этих множеств. Спасибо