Топология

[vvvbbhjiokk]

Задача: на множестве из 4 точек задать топологию так, что бы выполнялась аксиома Т4, но не выполнялась аксиома Т3

не получается придумать такую топологию, из всех известных мне топологий,а это :
1) Антидискретное пространство
2) Дискретное пространство
3) Топология стрелка
4) Топология Зарисского на прямой
5) Метрическая топология на плоскости
не подходит ни одна, не могу понять, как по мне слишком тонкая грань между аксиомами Т3 и Т4. может вообще нельзя придумать такую топологию?

[Connector]

vvvbbhjiokk в сообщении #1423013 писал(а):

как по мне слишком тонкая грань между аксиомами Т3 и Т4

Если все одноточечные множества замкнуты, то из Т4 следует Т3; если мы положим все одноточечные множества открытыми, то они же будут и замкнутыми. Можно рассмотреть топологию, в которой одна точка образует открытое (и при этом не замкнутое) подмножество, остальные — замкнутые.

[ИСН]

Из известных придумывать не надо, они здесь все очевидно бесполезны: в них не 4 точки. (Вообще классический пример между T3 и T4 - плоскость Немыцкого, но тут она тоже бесполезна по той же самой причине. Так-то грань не тонкая. Тонкая - это между T3 и T3-c-половиной.) Надо придумать изнутри головы, используя определение топологии.

[Anton_Peplov]

Вообще, строить примеры топологии на множествах из малого числа точек - полезный навык, чтобы отработать определение топологии. Например, на досуге перечислите все топологии, которые можно задать на трёхточечном множестве. Это быстрее, чем может показаться.

[george66]

Топология на конечном множестве - это предпорядок (рефлексивное и транзитивное отношение, не обязательно антисимметричное).
$A \le A$
$A \le B$ и $B \le C$ влечёт $A \le C$
но не обязательно
$A \le B$ и $B \le A$ влечёт $A = B$
Если дан предпорядок, определяем открытые множества как содержащие вместе с каждой своей точкой все лежащие выше. Замкнутое множество, наоборот, вместе с каждой своей точкой содержит все лежащие ниже. На каждом топологическом пространстве можно задать предпорядок: $A \le B$ если и только если верно одно из трёх равносильных условий
1) любое открытое множество, содержащее $A$, содержит и $B$
2) любое замкнутое множество, содержащее $B$, содержит и $A$
3) $A$ принадлежит замыканию $B$
Для конечных пространств топология полностью определяется предпорядком (поскольку пересечение любого семейства открытых множеств будет открытым, а это потому, что их там всего конечное число). Если топология удовлетворяет слабейшей аксиоме отделимости $T_0$, предпорядок будет порядком (верна антисимметричность). Аксиома $T_0$ утверждает "если две точки принадлежат одним и тем же открытым множествам, то они равны". Если верна аксиома $T_1$ (каждое одноточечное множество замкнуто), порядок вырождается в равенство и конечное пространство становится дискретным. Про $T_3$ и $T_4$ я не помню.

[george66]

Итого, подберите упорядоченное множество из четырёх точек. Ромбик попробуйте, ещё что-нибудь.

[iou]

Anton_Peplov в сообщении #1423134 писал(а):

Вообще, строить примеры топологии на множествах из малого числа точек - полезный навык, чтобы отработать определение топологии.

(Оффтоп)

Ещё можно попробовать посчитать гомотопические группы конечных топологических пространств. Вообще, любой конечный симплициальный комплекс слабо гомотопически эквивалентен некоторому конечному топологическому пространству..

[george66]

А понятно ли то, что я написал? Почему-то этому нигде не учат. Называется "порядок Александрова".

[Connector]

george66 в сообщении #1423512 писал(а):

А понятно ли то, что я написал?

Да, и это здорово! Не видел такой связи.