Трехмерный ряд Тейлора в случае ортогональной симметрии O(3)

[reterty]

Предположим, что имеется функция $f(x, y, z)$, являющаяся скалярным инвариантом ортогональной группы симметрии $O(3)$. Необходимо определить по симметрии ненулевые слагаемые ряда Тейлора этой функции в окрестности начала координат а также связь между этими ненулевыми компонентами для разложения произвольного порядка. Я понимаю, что слагаемые одного порядка образуют симметричный тензор и теория групп может дать соотношения между линейно независимыми компонентами этого тензора. К примеру, среди слагаемых второго порядка будет инвариант $x^2+y^2+z^2$, слагаемых первого порядка не будет и т.д. Не хочется "изобретать велосипед", может кто-нибудь подскажет где такая задача уже рассматривалась?

[vpb]

reterty в сообщении #1422498 писал(а):

Предположим, что имеется функция $f(x, y, z)$, являющаяся скалярным инвариантом ортогональной группы симметрии $O(3)$.

Что это значит ? Функция от $x,y,z$, инвариантная относительно $O(3)$ ? Многочленов нечетной степени, инвариантных относительно $O(3)$, нет (потому что $-E\in O(3)$ умножает их на $-1$; да и относительно $SO(3)$ инвариантных тоже нет, емнис), а четной степени --- только $(x^2+y^2+z^2)^n$, с точностью до пропорциональности.

[reterty]

vpb в сообщении #1422544 писал(а):

reterty в сообщении #1422498 писал(а):

Предположим, что имеется функция $f(x, y, z)$, являющаяся скалярным инвариантом ортогональной группы симметрии $O(3)$.

Что это значит ? Функция от $x,y,z$, инвариантная относительно $O(3)$ ? Многочленов нечетной степени, инвариантных относительно $O(3)$, нет (потому что $-E\in O(3)$ умножает их на $-1$; да и относительно $SO(3)$ инвариантных тоже нет, емнис), а четной степени --- только $(x^2+y^2+z^2)^n$, с точностью до пропорциональности.

Да, функция инвариантна относительно ортогональной группы. Я изучаю модель гиперупругого материала Муни-Ривлина (Mooney–Rivlin solid)
Поглядите ее плиз, там еще какой-то диковинный инвариант выскакивает

[vpb]

Ссылка не открывается.

reterty в сообщении #1422546 писал(а):

Поглядите ее плиз,

Увы, это за пределами моих возможностей. Механика, тем более сплошной среды --- это отдельная наука, в которую мне было бы слишком долго вникать. Впрочем, сейчас попробую посмотреть.

[reterty]

vpb в сообщении #1422550 писал(а):

Ссылка не открывается.

reterty в сообщении #1422546 писал(а):

Поглядите ее плиз,

Увы, это за пределами моих возможностей. Механика, тем более сплошной среды --- это отдельная наука, в которую мне было бы слишком долго вникать. Впрочем, сейчас попробую посмотреть.

Заранее спасибо

[arseniiv]

reterty в сообщении #1422546 писал(а):

Поглядите ее плиз

Очень просто сделать, когда лишний слэш в конце, а ссылка автоматически определилась не целиком. Вот почему я вокруг своих стараюсь ставить [url]...[/url] вручную. (Впрочем, в этом случае такой меры мало и ещё придётся закодировать её, но фаерфокс это делает по умолчанию.) Вот рабочая ссылка:

https://en.wikipedia.org/wiki/Mooney–Rivlin_solid

[vpb]

arseniiv
Спасибо. Я уже руками нашел.
reterty
Я посмотрел. В механику я не вникал и не буду, но с алгебраической точки зрения я, кажется, понял, что Вам надо. Только это за пять минут не напишешь, возможно завтра.

[vpb]

С точки зрения алгебры, можно сказать вот что.
Если $B$ --- симметрическая матрица, $S$ ---ортогональная, то $SBS^{-1}$ --- тоже симметрическая (как говорят, ортогональная группа действует на пространстве симметрических матриц). Допустим, мы интересуемся инвариантами симметрических матриц относительно действия ортогональной группы, т.е. функциями $f(B)$ такими, что всегда $f(SBS^{-1})=f(B)$.

Ясно, из свойств следа, что $\operatorname{tr}(B)$ --- такая функция, так как $\operatorname{tr}(B)=\operatorname{tr}(SBS^{-1})$. Более того, для любого
$k\geq1$ функция $\operatorname{tr}(B^k)$ --- тоже инвариант.

Эти инварианты можно выразить через собственные значения. Пусть матрицы $3\times3$, собственные значения $\mu_{1,2,3}$. Тогда $\operatorname{tr}(B^k)=\mu_1^k+\mu_2^k+\mu_3^k$. Обозначим это через $s_k$.

Теорема. Любая инвариантная функция, являющаяся многочленом от элементов матрицы, выражается как многочлен от $s_1$, $s_2$, $s_3$, причем единственным образом.

Обычно употребляются элементарные симметрические функции:

$$\sigma_1 =\mu_1+\mu_2+\mu_3\,,\qquad \sigma_2=\mu_1\mu_2+\mu_1\mu_3+\mu_2\mu_3\,,\qquad \sigma_3=\mu_1\mu_2\mu_3\,.$$

Они выражаются через $s_{1,2,3}$ (и обратно, $s_i$ выражаются
через $\sigma_i$):

$$ s_1=\sigma_1\,,\quad s_2=\sigma_1^2-2\sigma_2\,,\quad s_3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3 \,.$$

Значит, получаем три элементарных инварианта для матриц:

$$\sigma_1=s_1=\operatorname{tr}(B)\,,\qquad \sigma_2=(s_1^2-s_2)/2= (1/2) ( (\operatorname{tr}(B))^2-\operatorname{tr}(B^2))\,,\qquad \sigma_3=\mu_1\mu_2\mu_3=\det(B).$$

Наконец отметим, что если $B$ имеет специальный вид $B=FF^t$, и $\lambda_{1,2,3}$ --- сингулярные числа для $F$, то $\mu_i=\lambda_i^2$, и элементарные инварианты принимают вид

$$\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2=\operatorname{tr}(B)\,,\qquad \lambda_1^2\lambda_2^2+\lambda_1^2\lambda_3^2+\lambda_2^2\lambda_3^2= \frac12((\operatorname{tr}(B))^2-\operatorname{tr}(B^2))\,,\qquad \lambda_1^2\lambda_2^2\lambda_3^2=\det(B). $$

[reterty]

Спасибо Вам за "просвещение". Однако мне нравится идейный подход этой модели. В частности, напрочь отсутствует очевидный инвариант $\lambda_1^4+\lambda_2^4+\lambda_3^4$, имеющий тот же порядок малости что и второй из рассмотренных элементарных инвариантов и обязанный присутствовать в разложении Тейлора

[Someone]

reterty в сообщении #1422809 писал(а):

напрочь отсутствует очевидный инвариант $\lambda_1^4+\lambda_2^4+\lambda_3^4$, имеющий тот же порядок малости что и второй из рассмотренных элементарных инвариантов и обязанный присутствовать в разложении Тейлора

Он выражается через первый и второй:

$$\lambda_1^4+\lambda_2^4+\lambda_3^4=(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2)^2-2(\lambda_1^2\lambda_2^2+\lambda_1^2\lambda_3^2+\lambda_2^2\lambda_3^2).$$

[reterty]

Someone в сообщении #1422812 писал(а):

reterty в сообщении #1422809 писал(а):

напрочь отсутствует очевидный инвариант $\lambda_1^4+\lambda_2^4+\lambda_3^4$, имеющий тот же порядок малости что и второй из рассмотренных элементарных инвариантов и обязанный присутствовать в разложении Тейлора

Он выражается через первый и второй:

$$\lambda_1^4+\lambda_2^4+\lambda_3^4=(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2)^2-2(\lambda_1^2\lambda_2^2+\lambda_1^2\lambda_3^2+\lambda_2^2\lambda_3^2).$$

Верно, но в модели Муни-Ривлина квадрат первого инварианта отсутствует (он входит лишь в первой степени в выражение для энергии упругой деформации)

[Someone]

Если вводить лишние обозначения, то они становятся зависимыми, и нужно писать уравнения связи между ними.

[reterty]

У меня есть еще несколько вопросов. Коэффициенты в ряде Тейлора при слагаемых, содержащие квадратичные члены типа $xy$ нулевые, поскольку "не выдеживают испытания" к примеру поворотами на 90 градусов (в данном случае вокруг оси $z$). По той же причине нулевыми будут слагаемые типа $xyz^2$. А вот каким преобразованием симметрии "убить" слагаемые типа $xy^3$?
Кажется, понял- отражением в плоскости $ZOY$

[vpb]

reterty в сообщении #1422809 писал(а):

Спасибо Вам за "просвещение".

На здоровье.
В учебнике Кострикина, в главе о представлениях групп, кое-чего написано про действия ортогональной группы на пространствах многочленов.

[Ruslan_Sharipov]

reterty в сообщении #1422498 писал(а):

Предположим, что имеется функция $f(x, y, z)$, являющаяся скалярным инвариантом ортогональной группы симметрии $O(3)$.

В векторной форме $f(x, y, z)=f(\vec x)$, где $\vec x$ - это 3D-вектор c координатами $x, y, z$. Ортогональная группа $O(3)$ действует транзитивно на каждой сфере $|\vec x|=\mathop{\rm const}$. Поэтому всякая функция $f(x, y, z)$, инвариантная относительно $O(3)$, записывается в виде $f(x, y, z)=\varphi(|\vec x|)$. Если $f(x, y, z)$ - многочлен, то $f(x, y, z)=\varphi(|\vec x|^2)$, где $\varphi$ - некоторый многочлен от одной переменной.