2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численный расчет выражения
Сообщение26.10.2019, 21:54 
Аватара пользователя


24/10/14
81
Приветствую. Сразу сформулирую задачу.

Есть выражение $\frac{e^{-\sigma^2t} - 1 + \sigma^2t}{\sigma^4t^2}$, $\sigma > 0$. Нужно рассчитать выражение при $t \to 0$ и при $t = 0$.

В случае $t = 0$ наиболее логичным считаю разложить экспоненту в ряд Маклорена в точке $t=0$ до $t^2$ включительно.
То есть: $e^{-\sigma^2t} = 1 - \sigma^2t + \sigma^4t^2/2 + O(t^3)$. Таким образом, cократив дробь, получим: $0.5 + O(t)$, что равняется 0.5.

В случае же $t \to 0$ пытаюсь посчитать обычный предел. У нас неопределенность 0/0, поэтому можно пролопитировать, насколько я понимаю. Беря производную от числителя и знаменателя по t, получаем: $\frac{-\sigma^2e^{-\sigma^2t}  + \sigma^2t}{2\sigma^4t}$. И получаем в пределе $\inf$, но вольфрам этот предел рассчитал, как 1/2, разложив в ряд Маклорена числитель.

Получается, что в ряд Маклорена нужно раскладывать в случае $t \to 0$, а не при $t=0$? В таком случае, как считать это выражение непосредственно в точке $t=0$?

Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение26.10.2019, 22:08 


05/09/16
12382
Jiggy в сообщении #1422558 писал(а):
В таком случае, как считать это выражение непосредственно в точке $t=0$?

Никак, потому что на ноль делить не можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение26.10.2019, 23:29 


05/09/16
12382
Jiggy в сообщении #1422558 писал(а):
И получаем в пределе $\inf$, но вольфрам этот предел рассчитал, как 1/2,

Видимо, ошибка где-то, помойму предел не существует. Проверьте "лопитирование".

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение27.10.2019, 00:41 
Аватара пользователя


24/10/14
81
wrest

Такое выдал вольфрам.
Изображение

Исходное условие задачи такое.
Изображение

Может быть я некорректно хочу решить задачу?

-- 27.10.2019, 00:44 --

В лопитировании описка: в числителе не убрал t во втором члене, но тем не менее лопиталь приводит к C/\inf.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение27.10.2019, 00:46 


05/09/16
12382
Jiggy в сообщении #1422575 писал(а):
Такое выдал вольфрам.
Изображение



Это верно.

-- 27.10.2019, 00:55 --

wrest в сообщении #1422576 писал(а):
Может быть я некорректно хочу решить задачу?

А, ну так тут, как говорится, на ваш выбор. Это ж не вопросы к математике, а скорее к программированию, как мне кажется.
Jiggy в сообщении #1422575 писал(а):
В лопитировании описка: в числителе не убрал t во втором члене, но тем не менее лопиталь приводит к C/\inf.

Не, ну чего вы Лопиталя так обижаете... Нет там бесконечностей, предел равен $1/2$
Лопитируйте пока это не станет уже слвсем очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение27.10.2019, 00:56 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
О, авторы вопроса как минимум намекают на использование функции expm1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение27.10.2019, 01:09 
Аватара пользователя


24/10/14
81
числитель: $(e^{-\sigma^2t}-1+\sigma^2t)' = -\sigma^2e^{-\sigma^2t} + \sigma^2$. Неужели я неправильно дифференцирую? Если wrest прав, то здесь закралась одна ошибка.

Сейчас осознал, что мы можем второй раз дробь лопитировать, так как и числитель, и знаменатель стремятся к 0 при $t \to 0$. И после этого как раз получается 0.5. Хорошо, предел 0.5.

Получается, что при $t \to 0 $ предел существует и равен 0.5. А непосредственно в точке 0 что делать? Разложить в ряд Маклорена? Тогда также получим 0.5. В итоге в обоих случаях получаем 0.5, но в первом - лопиталь, во втором - Маклорен. Ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение27.10.2019, 01:14 


05/09/16
12382
Jiggy в сообщении #1422579 писал(а):
Неужели я неправильно дифференцирую? Если wrest прав, то здесь закралась одна ошибка.

Теперь дифференцируете правильно.
Про вторую это я неправ был (вы ж исправленный вариант не написали, вот я и подумал раз у вас бесконечность все одно выходит значит еще одна ошибка).
Так где ж вы там бесконечность-то увидели? Там опять $0/0$, дифференцировать еще раз надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение27.10.2019, 01:17 
Аватара пользователя


24/10/14
81
wrest, Да, затупил. Еще раз продифференцировал, и все стало ОК.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение27.10.2019, 01:34 


05/09/16
12382
Jiggy
А в чем, по вашему, вообще суть проблемы и смысл задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение27.10.2019, 02:16 
Аватара пользователя


24/10/14
81
wrest
Насколько я понимаю, нужно показать, как вычислить выражение в зависимости от $t$ (2 случая) и доказать, что приведенные методы в каждом из случаев, действительно, можно применять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение27.10.2019, 06:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10187
Москва
$\frac 1 2 =0.5$
То есть оба решения совпадают. Если, конечно, понимать, что и в "первом решении" переход к пределу, только слегка замаскированный, а во втором решении дифференцировать аккуратнее (и два раза).

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение27.10.2019, 12:14 


05/09/16
12382
Jiggy в сообщении #1422585 писал(а):
Насколько я понимаю, нужно показать, как вычислить выражение в зависимости от $t$ (2 случая) и доказать, что приведенные методы в каждом из случаев, действительно, можно применять.

Мне кажется, что речь идёт о том, как справиться с потерей точности при сложении близких больших чисел. То есть как преобразовать вычисления так, чтобы не получались промежуточные результаты типа $1,000000000000000000000000000000000002334129394$

 Профиль  
                  
 
 Re: Численный расчет выражения
Сообщение27.10.2019, 13:02 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
По-моему тоже это не задача «найдите предел двумя способами». Скорее всего про вычисление в нуле имеют в виду доопределённую по непрерывности функцию, её-то нашли, это хорошо, но вторая часть — вычислить как можно лучше (но не лезя на стенку) выражение при $t$, близких к нулю, от которых ожидается, что машинной (или другой заданной) точности хватит, чтобы отличить результат от $0{,}5$, но если находить прямо по формуле, точность сильно потеряется. (Потому я намекнул на expm1.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: kthxbye


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group