Корни многочлена Лежандра, теорема Ролля

[e7e5]

Не пойму, почему многочлен Лежандра степени $n$ имеет $n$ различных вещественных корней, которые содержатся между -1 и +1?

Мне понятно, что многочлен $(x^2-1)^n=$$(x-1)^n$$(x+1)^n и его
$n-1$ последовательных производных обращаются в ноль при $x$ равном +1 или -1. Но далее для доказательства применяется теорема Ролля. Из нее следует такое заключение - не очень понятно.

Поясните пожалуйста.

[Really]

e7e5 писал(а):

многочлен $(x^2-1)^n=(x-1)^n(x+1)^n$ и его
$n-1$ последовательных производных обращаются в ноль при $x$ равном +1 или -1.

Пусть $p=(x^2-1)^n$. Тогда существует точка $0<x_0<1$ в которой $p'$ примет значение равное
нулю. Это следует из теоремы Ролля. Кроме того $p'$ очевидно имеет своими корнями
$0$ и $1$. Что теперь можно сказать о корнях $p''$?

[e7e5]

Really писал(а):

Что теперь можно сказать о корнях $p''$?

Вроде нужно еще раз теорему Ролля применить. Но почему теперь вторая производная имеет два корня?

[Really]

e7e5 в сообщении #142199 писал(а):

Вроде нужно еще раз теорему Ролля применить.

Нет. Надо применить ее дважды.

[e7e5]

Really писал(а):

Нет. Надо применить ее дважды.

Применить дважды к какой функции? Эта функция должна быть определена и непрерывна на [-1;1], должна существовать конечная первая производная (-1;1), а на концах этого промежутка у функции равные значения. При таких условиях найдется точка $c$ $-1$<$c$<1, что первая производная в этой точке равна нулю.
т.е нужно рассмотреть в качестве функции $p'$?

[Really]

e7e5 в сообщении #142204 писал(а):

т.е нужно рассмотреть в качестве функции $p'$?

Безусловно. А потом $p''$ и т.д.

e7e5 писал(а):

Эта функция должна быть определена и непрерывна на [-1;1]...

Применить теорему Ролля к $p'$ на $ [-1;1]$ вы могли сразу. Зачем тогда
было выяснять, что у нее имеется корень $-1<x_0<1$. Используйте этот факт.

[ewert]

Прошу прощения за оффтопик, но способ доказательства, основанный на теореме Ролля -- какой-то левый. Дело ведь вовсе не в лежандровости многочленов, а в их ортогональности. У любой последовательности ортогональных многочленов (т.е. с любым весом) строго внутри промежутка ортогональности имеется ровно столько корней, сколько положено. И доказывается это вполне банально.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Да, а если говорить всё же о теореме Ролля, то пафос вот в чём. Обычно эту теорему применяют для доказательства того, что после каждого дифференцирования количество корней уменьшается не более чем на единицу. Но в данном случае есть специфика -- для всех производных, кроме последней, гарантированно дополнительными корнями являются концы отрезка. Как следствие, при каждом дифференцировании (кроме последнего) количество корней увеличивается не менее чем на единицу; ну а на последнем может и уменьшиться. И всё сходится.

[Really]

ewert писал(а):

У любой последовательности ортогональных многочленов (т.е. с любым весом) строго внутри промежутка ортогональности имеется ровно столько корней, сколько положено. И доказывается это вполне банально.

Здесь еще и доказывается, что все корни простые. Это не будет так для любой последовательности ортогональных многочленов.

[TOTAL]

Really писал(а):

Здесь еще и доказывается, что все корни простые. Это не будет так для любой последовательности ортогональных многочленов.

Не могли бы Вы привести пример с кратными корнями.
(Видимо, по-разному понимается последовательность ортогональных многочленов?)

[ewert]

Really писал(а):

ewert писал(а):

У любой последовательности ортогональных многочленов (т.е. с любым весом) строго внутри промежутка ортогональности имеется ровно столько корней, сколько положено. И доказывается это вполне банально.

Здесь еще и доказывается, что все корни простые. Это не будет так для любой последовательности ортогональных многочленов.

Этого я не понял. Если у каждого многочлена (из последовательности) степени эн будет ровно эн корней, то откуда возьмутся кратные корни?

[Really]

TOTAL в сообщении #142261 писал(а):

Не могли бы Вы привести пример с кратными корнями.
(Видимо, по-разному понимается последовательность ортогональных многочленов?)

Да вы правы. Глянул определение. Требование

Цитата:

in which each pn
has degree n

существенно. Если так, то все будет как надо.

[e7e5]

Really писал(а):

Пусть $p=(x^2-1)^n$. Тогда существует точка $0<x_0<1$ в которой $p'$ примет значение равное
нулю. Это следует из теоремы Ролля. Кроме того $p'$ очевидно имеет своими корнями
$0$ и $1$. Что теперь можно сказать о корнях $p''$?

$p=(x^2-1)^n$.
Для $p'$ получаем $p'=2xn(x^2-1)^n/(x^2-1)$.
Для $p''$ получаем $p''=2n(n-1)(x^2-1)^n/(x^2-1)^2+ 2n(x^2-1)^n/(x^2-1)$.

Как для функции $p'$ и $p''$ Теорема Ролля здесь помогает?

[Really]

e7e5 в сообщении #142278 писал(а):

Как для функции $p'$ и $p''$ Теорема Ролля здесь помогает?

Существует точка $-1<x_0<1$ в которой $p'$ примет значение равное нулю.
Это следует из теоремы Ролля. Кроме того $p'$ также обращается в ноль в
точках $-1$ и $1$. Тогда можем применить теорему Ролля для
отрезков $[-1,x_0]$ и $[x_0,1]$ и функции $p'$. Для второй
производной получаем два корня. Далее понятно?

[Brukvalub]

Really в сообщении #142281 писал(а):

Для второй
производной получаем два корня.

Я бы добавил: два корня на интервале (-1 ; 1).

[e7e5]

Really писал(а):

Для второй
производной получаем два корня. Далее понятно?

Существуют точки $-1<x_1<1$ и $-1<x_2<1$ , в которых $p''$ примет значение равное нулю.
Также $p''$ обращается в ноль в
точках $-1$ и $1$. Получается, что снова можем применить теорему Ролля для отрезков: $[-1,x_1]$, $[x_1,x_2]$ и $[x_2,1]$ и функции $p''$. Для третьей производной получаем три корня на интервале $(-1,1)$. Верно? А что на самом последнем шаге, для $n$-ой производной?