Двойное отношение без упоминания координат или расстояний

[arseniiv]

Так как двойное отношение

$$(A, B; C, D) = \frac{|AC|}{|BC|} : \frac{|AD|}{|BD|}$$

коллинеарных точек $A, B, C, D \in P(V)$ инвариантно относительно движений $P(V)$, резонно хочется иметь его определение, не упоминающее расстояний (и вообще аффинной карты) или координат (однородных) через прямые ${}\in V$ или представляющие их ненулевые векторы $a, b, c, d$.

Мои попытки это сделать пока не очень успешные, взял вот внешнее произведение, и беру другие векторы $a', b', c', d'$, специально выбранные аффинно коллинеарными, т. е. линейно зависима каждая пара из

$$\{a'-b', a'-c', a'-d', b'-c', b'-d', c'-d'\},$$

чтобы найти отношения типа $\frac{a' - c'}{b' - c'}$, потому что линейно зависимые векторы можно делить. Я рассчитывал, что выражение с внешними произведениями от $a', b', c', d'$ окажется таким, что там можно будет подставить произвольные компланарные $a, b, c, d$ и получить то же (а множители, отличающие $a$ от $a'$ и т. д., сократятся), но не могу придумать, как к такому чудесному выражению-то прийти от $\frac{a' - c'}{b' - c'} : \frac{a' - d'}{b' - d'}$. И вообще я надеюсь, что это где-нибудь было давным-давно выписано.

[Утундрий]

Простите, не понял. Число, выражающееся через отношение расстояний требуется выразить без использования расстояний?

[arseniiv]

Да. И я его вчера засыпая таки выразил. Но это чёрная магия и я бы хотел получить ответ более понятным способом. Чуть позже допишу, что вышло.

-- Сб окт 26, 2019 14:52:42 --

(Ещё раз напомню про расстояния: аффинная карта проективного пространства, и введённая евклидова структура на ней, не сохраняются при всех проективных преобразованиях. Так что конкретные расстояния между парами точек должны быть обходимы. И они есть.)

-- Сб окт 26, 2019 15:41:57 --

В общем отрубим всё лишнее, пусть $P(V)$ прямая (а $V$ плоскость). Дальше я решил потребовать, чтобы искомое выражение от векторов, задающих прямые, вообще не менялось при линейных преобразованиях и при растяжении этих векторов по отдельности — вроде второе не совсем необходимо, ну да ладно.

Дальше, внешние произведения у нас могут быть осмысленные в этом случае только двойные, а тройные и далее уже нули; двойные лежат в одном и том же пространстве, можно делить. Возьмём например $\dfrac{a\wedge b}{c\wedge d}$: ага, линейные преобразования оставят его как есть, умножаются на определитель и верх, и низ. Но зато нет никакого постоянства при растяжении отдельных $a, b, c, d$. Можно попытаться домножить на $\dfrac{c\wedge d}{a\wedge b}$, но мы законно получим единицу, и вместо того чтобы громоздить решения ещё длиннее, начнём иначе: $\dfrac{a\wedge b}{a\wedge c}$ — тогда продолжение удовлетворительное и что-то сильно напоминающее: $\dfrac{a\wedge b}{a\wedge c}\;\dfrac{c\wedge d}{b\wedge d}$ (притом это и единственное продолжение, если мы собираемся остановиться лишь на двух дробях, а мы собираемся). Эта величина, теперь мы видим ясно, терпит и линейные преобразования, и совершенно нечувствительна к выбору векторов—представителей своих прямых. И боги, она похожа на $\dfrac{|AB|}{|AC|}\dfrac{|CD|}{|BD|}$. Давайте проверим, связаны ли они.

Выберем аффинную карту, то есть в данном случае аффинную прямую $o + \langle v\rangle$ (а вообще наши построения останутся инвариантными относительно замен $o\mapsto o+\alpha v$ и $v\mapsto\alpha_{\ne0} v$, как и было бы хорошим тоном) и повыбираем $a, b, c, d$ как такие векторы на наших прямых, лежащие на карте, то есть представим их в виде $o + \alpha_a v$ и т. д., кроме тех прямых, которые совпадают с $\langle v\rangle$ — их придётся обрабатывать в формулах отдельно. (Кто потерялся, такая прямая задаёт бесконечно удалённую с точки зрения этой аффинной карты точку.) Их тогда для удобства представим как $\alpha_a v$ и т. д..

Посмотрим теперь на внешние произведения для каждого из трёх случаев:
(1) $a$ представим, $b$ представим:

$$a\wedge b = (o + \alpha_a v)\wedge(o + \alpha_b v) = (\alpha_b - \alpha_a)o\wedge v;$$

(2) $a$ представим, $b$ не представим:

$$a\wedge b = (o + \alpha_a v)\wedge(\alpha_b v) = \alpha_b o\wedge v;$$

(3) оба непредставимы:

$$a\wedge b = 0.$$

Теперь вспомним, что у нас в целом $\dfrac{a\wedge b}{a\wedge c}\;\dfrac{c\wedge d}{b\wedge d}$. Очень неудобно перебирать все случаи, но видно, что если лишь один вектор непредставим, у нас по множителю в числителе и знаменателе сократятся. Если два вектора равны (эквивалентно совпадению проективных точек), то в случае типа $c, d$ получим ноль, в случае типа $b, d$ бесконечность, в случае типа $b, c$ получим единицу, притом не важно, представимы эти совпадающие векторы или нет. Если три совпадают… в общем, рассмотрим лучше случай, когда все векторы представимы, тогда выражение приходит к виду $\dfrac{\alpha_b - \alpha_a}{\alpha_c - \alpha_a}\;\dfrac{\alpha_d - \alpha_c}{\alpha_d - \alpha_b}$, а ведь эти разности — это и есть расстояния $|AB|, |AC|, |CD|, |BD|$ с точки зрения выбранной карты! Ну, с точностью до умножения на что-нибудь, потому что евклидову структуру я не вводил — мы на прямой и нам нужны лишь отношения, а они определены однозначно, и нечего.

В самом конце остаётся только переставить $a, b, c, d$ так, чтобы они стояли общепринятым образом:

$$(A, B; C, D) = \frac{a\wedge c}{b\wedge c} : \frac{a\wedge d}{b\wedge d}.$$

И понять как прийти к формуле не путём кучи догадок. И придумать способ в доказательстве эквивалентности обычному определению не рассматривать кучу случаев с бесконечностями и нулями.

[arseniiv]

Теперь резонный вопрос: почему мне это не попадалось?

[arseniiv]

Jürgen Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry
Вот тут оно определяется сразу похожим образом (но сначала в координатах, впрочем предварительные требования к читателю у автора небольшие, и ниже по тексту он вроде наводит инвариантность). Ещё автор замечает, что в обычном определении расстояния между точками должны быть ориентированными, что моё определение как раз ухватывает, а если бы были неориентированные, оно бы не было эквивалентным. Наконец, он ещё подал замечательную идею, что и сами значения двойного отношения лежат в $\mathbb R\mathrm P$! Вот это замечательно, но вроде не так просто учесть: если просто заменить дроби парами, получается или неполный учёт проблем с бесконечностью: $(\frac{a\wedge c}{b\wedge c}, \frac{a\wedge d}{b\wedge d})$, либо безобразие без смысла: $((a\wedge c)(b\wedge d), (b\wedge c)(a\wedge d))$. Щас подумаю…

[пианист]

Двойное отношение инвариант проективной группы, можно танцевать от этого.

[arseniiv]

Да, этим я и пользовался в нахождении формулы выше.

В общем программа формализации из последнего поста тоже удалась, но страшновато получается уже. Я избавился от деления так, как и хотелось, а умножение здесь банально заменяется тензорным! В результате сначала мы отображаем векторы $a, b, c, d\in V$ в немного страшненькие штуки вида

$$((a\wedge c)\otimes (b\wedge d), (b\wedge c)\otimes (a\wedge d)) \in ((\wedge^2 V)\otimes(\wedge^2 V))^2 =: X,$$

затем видим, что это продолжается до отображения $P(V)^4 \to P(X)$ (не совсем, о чём ниже), а затем нам осталось лишь отождествить $P(X)$ и $\mathbb R\mathrm P$. Для этого мы выберем среди многих проективных отображений между ними такое, чтобы класс, содержащий $(x, x)$, переходил в 1, класс с $(x, -x)$ в −1, класс с $(0, x)$ в 0 и класс с $(x, 0)$ в $\infty$. Всё, двойное отношение с проективно-вещественными значениями готово.

Можно ли это как-то укоротить, не вижу. То есть я бы мог конечно сделать пару неканонических выборов по дороге (типа отождествления какого-нибудь из ненулевых элементов одномерного пространства $\wedge^2 V$, а следовательно и $(\wedge^2 V)^{\otimes 2}$, с единицей), но это не цель данной темы.

-- Сб окт 26, 2019 20:18:18 --

А, забыл про «не совсем»: некоторые вещи переходят в ноль и потому мы не можем считать продолженное отображение $P(V)^4 \to P(X)$ определённым на них. Например если все $a, b, c, d$ коллинеарны (т. е. проективные точки $A, B, C, D$ равны). Но в таких случаях, думаю, классически определённое двойное отношение тоже считают неопределённым.

-- Сб окт 26, 2019 20:21:08 --

(Интересно, какая доля читателей крутит пальцем у виска?..)

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1422534 писал(а):

Например если все $a, b, c, d$ коллинеарны (т. е. проективные точки $A, B, C, D$ равны)

Вы начали с обобщения характеристики, определённой для точек, лежащих на одной прямой и в результате пришли к выводу, что для точек, лежащих на одной прямой эта характеристика не определена?

[arseniiv]

Утундрий
Когда равны. Маленькие буквы здесь — элементы классов, которыми являются точки.

[george66]

Двойное отношение отрезков равно двойному отношению площадей треугольников с общей вершиной. Либшер "Теория относительности с циркулем и линейкой", стр.133-134
http://gen.lib.rus.ec/search.php?req=%D ... column=def

[arseniiv]

arseniiv в сообщении #1422534 писал(а):

Для этого мы выберем среди многих проективных отображений между ними такое, чтобы класс, содержащий $(x, x)$, переходил в 1, класс с $(x, -x)$ в −1, класс с $(0, x)$ в 0 и класс с $(x, 0)$ в $\infty$.

Минус единицу можно выкинуть, она определяется однозначно. Тут у меня есть какие-то ощущения насчёт того, что пианист имел в виду конструкцию наподобие такой: https://en.wikipedia.org/wiki/Cross-ratio#Transformational_approach, но сюда её не получается применить сразу же, потому что на произвольной проективной прямой $0, 1, \infty$ не обозначены. Их произвольного пришпиливания хотелось бы избежать. (Вот сопоставление из цитаты не произвольно, потому что мы понимаем классы $\{(\alpha a, \alpha b)\mid\alpha\}$ как «$a/b$, но чтобы бесконечный результат не делал проблем».)

UPD:

arseniiv в сообщении #1422534 писал(а):

Например если все $a, b, c, d$ коллинеарны (т. е. проективные точки $A, B, C, D$ равны). Но в таких случаях, думаю, классически определённое двойное отношение тоже считают неопределённым.

Да, разумеется, если хотя бы три точки совпадают, оно не определено, или придётся считать, что $0 = 1 = \infty$. Душа моя спокойна на этот счёт теперь.

UPD2:
А после разбора с неопределённостью видно, что в принципе ничего страшного мы насчитать по исходно найденной формуле $(A, B; C, D) = \dfrac{(a\wedge c)(b\wedge d)}{(b\wedge c)(a\wedge d)}$ не сможем: если ноль сверху, снизу не ноль, и наоборот. Так что можно с совершенно чистой совестью считать, что она выдаёт число из $\mathbb R\mathrm P$ и не городить тензорные произведения.