Измеримость борелевских множеств

[tiptoe]

Встретил утверждение, что все борелевские множества измеримы по Лебегу. Но если взять множество (-$\infty$, const), то оно, похоже, будет неизмеримо. Верно ли исходное утверждение в общем случае? Или только применительно к борелевским множествам на отрезке?

[thething]

tiptoe
А Вам не встречалось утверждение, что всякое открытое множество измеримо по Лебегу?

[Otta]

tiptoe в сообщении #1422260 писал(а):

Но если взять множество (-$\infty$, const), то оно, похоже, будет неизмеримо

Измеримое - это не то, у которого мера конечна. Там есть определение. Посмотрите.

[tiptoe]

Насколько я знаю, множество С считается измеримым, если для любого $\varepsilon$ существует конечное число элементов полукольца B_1, B_2, ... B_N такое, что внешняя мера симметрической разности С и объединения B_i меньше $\varepsilon$. Это неверно?
Википедия: Множество называется измеримым относительно меры $\mu$ , если оно принадлежит $\sigma$-алгебре, на которой определена $\mu$.

[Otta]

tiptoe в сообщении #1422263 писал(а):

конечное число

Счетное.

(Оффтоп)

Формулы оформляйте правильно, а то в Карантин унесут.

[tiptoe]

(Оффтоп)

Спасибо Вам огромное!

[Padawan]

tiptoe в сообщении #1422263 писал(а):

Насколько я знаю, множество С считается измеримым, если для любого $\varepsilon$ существует конечное число элементов полукольца B_1, B_2, ... B_N такое, что внешняя мера симметрической разности С и объединения B_i меньше $\varepsilon$. Это неверно?

Это верно. Но обычно, в частности в учебнике Колмогорова, Фомина меру и измеримость вводят на семействе подмножеств отрезка (куба в многомерном случае), а потом уже распространяют по счётной аддитивности на неограниченные множества.

[Otta]

Padawan в сообщении #1422429 писал(а):

Это верно.

И да.
И насколько я вижу, построенный в итоге класс измеримых множеств, просто в силу определений, ничем не отличается от того, если бы в определении множества сразу приближались счетными объединениями полукольца. Разве нет?

По крайней мере, я не вижу разницы.
Если же ее действительно нет, то у меня вопрос: не слишком понятно, зачем усложнять конструкцию.