Происхождение систем счисления или Чего у нас 60?

[Xaositect]

Из книги "The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics".

Цитата:

Whereas we use the same number signs regardless of their metrological meaning (the “three” for sheep is the same sign as the “three” for kilometers or jars of oil), the Sumerians resorted to a wide variety of different symbols. Nissen et al. (1993) have identified around 60 different number signs, which they group into a dozen or so systems of measurement. [...]
In each Sumerian metrological system there were a number of different size-units with fixed conversion factors between them, [...] Sumerian metrology featured all sorts of conversion factors, although it is notable that they were all simple fractions of 60.
In the early stages, however, there were different systems of numerical representation in Mesopotamia, depending on what was being measured. For a short period, a "bisexagesimal" system (i.e., a system with the units in the ratios 1:10:60:120:1,200:7,200) was used to count products relating to grain and certain other commodities. It operated with conversion factors 10, 6, and 2, so that the symbol for the largest quantity, this time a large circle containing two small circles, represented 7,200 base units. Yet another system was used for measuring grain capacity: the conversion factors were 5, 10, and 3, so that the largest unit, a large cone containing a small circle, was worth 900 base units. To add to the confusion, a single sign could be used in several systems to denote different multiples of the base unit. In particular, the small circle could mean 6, 10, or 18 small cones, depending on context and the system in use.

Цитата:

Different explanations have been offered for the origins of the sexagesimal system, which, unlike base 10 or even base 20, has no obviously anatomical basis. Theon of Alexandria, in the fourth century AD, pointed to the computational convenience of using the base 60. Since 60 is exactly divisible by 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, and 30, it becomes possible to represent a number of common fractions by integers, thus simplifying calculations […]
However, this explanation for the use of base 60 is unconvincing because of its “hindsight” character. It is highly unlikely that such considerations were taken into account when the base was chosen. A second explanation emphasizes the relationship that exists between base 60 and numbers that occur in important astronomical quantities. The length of a lunar month is 30 days. The Mesopotamian estimate of the number of days in a year was 360, based on the zodiacal circle of 360°, divided into twelve signs of the zodiac of 30° each. The argument goes that either 30 or 360 was first chosen as the base, later to be modified to 60 when the advantages of such a change were recognized. Here again, there is a suggestion of deliberate, rational calculation in the choice of the base that is not totally convincing. A more plausible explanation is that the sexagesimal system evolved from metrological systems that used two alternating bases of 10 and 6, favored perhaps by two different groups, which gradually merged, and that the advantages of base 60 for astronomical and computational work then came to be recognized.

Об одной глиняной табличке, в которой решение повторено трижды в разных системах:

Цитата:

Three different systems of recording numbers are mentioned here. There is the Babylonian sexagesimal system, already discussed in some detail earlier in this chapter. In this system, there are special number signs for the “units,” from 1 to 9, and for the “tens” from 10 to 50. The “mixed” decimal-­sexagesimal system (which was a nonpositional system peculiar to Mari) consisted of signs for numbers “a hundred,” “a thousand,” and “a ten thousand.” Numbers below 100 were written as sexagesimal numbers, with or without the word “sixty.” The Mari centesimal place-­value system operated the same way as the Babylonian sexagesimal place-value system but with the base 100 instead of 60, with signs not only for the “tens” from 10 to 50 but also for 60, 70, 80, and 90. What is very interesting here is the existence of three different number systems in a small urban center.

[Mihr]

Booker48 в сообщении #1421231 писал(а):

устойчивое выражение: зубы пересчитать, не исключено, уходит корнями в былинную древность. А то и к Гильгамешу.

Мне думается, это не связано со счётом, как таковым. Тут, скорее, пародия на счёт.
Нередко и сейчас при счёте однородных предметов их поочерёдно касаются пальцем/рукой. Вероятнее всего, так же поступали и раньше. Так что "пересчитать зубы", по-моему, должно означать "достать до каждого зуба" или "ни один зуб не пропустить". Всего-навсего. Количество зубов при этом никакой роли не играет.
Здесь примерно как с выражением "словно волос на голове". Которое означает просто "много". А конкретное количество волос при этом никого не интересует.

[epros]

Booker48 в сообщении #1421231 писал(а):

Ну, она всё же до просветителей возникла.

Не знаю когда возникла, но вроде бы именно во времена Великой французской революции начался судорожный повсеместный перевод всего, что можно, на метрическую (считай - на десятичную) систему. При этом двенадцатиричная и шестидесятиричные системы в то время тоже были известны. Так что мне неясно, почему ими пренебрегли в пользу десятичной. Наверное решили, что пролетариям санкюлотам счёт на пальцах понятнее всего.

[Booker48]

epros в сообщении #1421239 писал(а):

Не знаю когда возникла, но вроде бы именно во времена Великой французской революции начался судорожный повсеместный перевод всего, что можно, на метрическую (считай - на десятичную) систему.

Ну, метрическая система мер и десятичная система счисления суть разные всё же вещи. На пальцах считать начали раньше ("цифра"="палец" в английском, как известно). Но десятичный счёт удобнее и для всякой торговли, метрическая система вводилась именно с учётом того, что люди более-менее привыкли именно к счёту десятками.

(Оффтоп)

Но иногда жаль, что рубль, например, нельзя разделить на троих. А фунт стерлингов — можно (было, до реформы 1971 года). Хотя сама эта английская реформа подтверждает, что локальные удобства локальными удобствами, но иногда лучше ходить строем, как все.

[epros]

Booker48 в сообщении #1421255 писал(а):

Ну, метрическая система мер и десятичная система счисления суть разные всё же вещи

Одно на другом основано. Правда не везде метрическая система выжила. Например, у революционеров день состоял из 10 часов, час из 100 минут, минута из 100 секунд, прямой угол из 100 градусов.

Booker48 в сообщении #1421255 писал(а):

На пальцах считать начали раньше

Это я не знаю, кто и когда считал на пальцах. По-моему, "древне-ассирийский" способ счёта до 60 (когда левой рукой большим пальцем указывается на фаланги остальных пальцев - 12 вариантов, а на правой руке пальцы загибаются - 5 вариантов) ничуть не хуже.

[arseniiv]

epros в сообщении #1421239 писал(а):

При этом двенадцатиричная и шестидесятиричные системы в то время тоже были известны. Так что мне неясно, почему ими пренебрегли в пользу десятичной.

Десятичная система к тому времени была мейнстримом в математике, вот видимо потому и решили упростить инженерам расчёты.

epros в сообщении #1421273 писал(а):

Это я не знаю, кто и когда считал на пальцах. По-моему, "древне-ассирийский" способ счёта до 60 (когда левой рукой большим пальцем указывается на фаланги остальных пальцев - 12 вариантов, а на правой руке пальцы загибаются - 5 вариантов) ничуть не хуже.

Так вы глобально оптимизируете, а люди локально. Так что куча людей считала загибанием пальцев обеих рук независимо от того, можно ли лучше. А то если умудриться загибать каждый палец независимо, можно вообще до 1023 считать.

epros в сообщении #1421273 писал(а):

прямой угол из 100 градусов

Градов, их и сейчас так зовут.

[EUgeneUS]

arseniiv в сообщении #1421281 писал(а):

А то если умудриться загибать каждый палец независимо

Это действительно нужно умудриться. Попробуйте загнуть мизинец независимо от безымянного.

[arseniiv]

Я знаю про эту штуку. Но полусогнутый и до конца согнутый палец всё-таки можно отличить.

-- Чт окт 17, 2019 21:10:17 --

Кстати лучше использовать код Грэя.

[wrest]

Все практически применимые среднего ума человеком коды уже изобретены:
-- глухонемыми людьми
-- биржевыми брокерами

[epros]

arseniiv в сообщении #1421281 писал(а):

Десятичная система к тому времени была мейнстримом в математике

Да, возможно в этом всё дело. А математики, вероятно, заимствовали из Индии и может быть даже из Древнего Египта. В последнем случае цифр, правда, не было, но счёт вёлся именно степенями десятки. Так что скорее всего "считать на пальцах" начали древние египтяне, а остальные у них просто заимствовали.

arseniiv в сообщении #1421281 писал(а):

Так вы глобально оптимизируете, а люди локально.

А под "локальной оптимизацией" Вы понимаете "считаю так, как привык"?

arseniiv в сообщении #1421281 писал(а):

Градов, их и сейчас так зовут.

А, точно. Но ведь санкюлоты их задумывали именно на замену градусам, а градусы так и не отменились.

[arseniiv]

epros в сообщении #1421308 писал(а):

А математики, вероятно, заимствовали из Индии и может быть даже из Древнего Египта.

Это всё будет жёсткой примитивизацией, см. того же Ван дер Вардена.

epros в сообщении #1421308 писал(а):

А под "локальной оптимизацией" Вы понимаете "считаю так, как привык"?

Нет, почему, просто улучшать то, что есть, не ища чего-то совсем другого, но потенциально лучшего. В общем наша культурная эволюция идёт именно по первому пути, нам трудно выдумывать что-то не на основе чего-нибудь, что попадалось.

[Евгений Машеров]

Ktina в сообщении #1421157 писал(а):

Десятичная система возникла потому, что у нас 10 пальцев на руках. А 12-чная — потому что четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности 12 фаланг.

Майя и ацтеки применяли 20-чную систему, тоже, как нетрудно догадаться, по количеству пальцев (на руках и ногах).

А вот вавилоняне считали в 60-чной системе (поэтому в минуте до сих пор 60 секунд, а в часе 60 минут). И почему же они делали именно так? Иными словами, чего у нас в организме 60?

Вавилонская система на самом деле десятично-шестеричная.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ ... merals.svg
Подозреваю, что сперва считали единичками, потом догадались ввести особый знак для десятка, а для больших чисел вместо ещё одного знака придумали позиционную систему.

-- 25 окт 2019, 07:07 --

epros в сообщении #1421239 писал(а):

Booker48 в сообщении #1421231 писал(а):

Ну, она всё же до просветителей возникла.

Не знаю когда возникла, но вроде бы именно во времена Великой французской революции начался судорожный повсеместный перевод всего, что можно, на метрическую (считай - на десятичную) систему. При этом двенадцатиричная и шестидесятиричные системы в то время тоже были известны. Так что мне неясно, почему ими пренебрегли в пользу десятичной. Наверное решили, что пролетариям санкюлотам счёт на пальцах понятнее всего.

Десятичный счёт и метрическая система это не тождественно. Десятичный счёт появился в Древней Индии, и через арабов проник в Европу. Там конкурировал с римской и вавилонской системами счисления. Римская для записи чисел, скажем, в торговле, без особых вычислений (умножение римских цифр предмет университетского курса), вавилонская астрономами/астрологами и в прочих случаях для вычислений. Постепенно вытесняя, по мере роста потребности в вычислениях, а когда Симон Стевин, бухгалтер принца Оранского, изобретатель адской машины и ниспровергатель вечного двигателя опубликовал трактат "Десятая", где были разработаны десятичные дроби, с XVII века стала основной.

[Евгений Машеров]

А метрическая система появилась в силу необходимости выработать единые для всего мира единицы измерения. И сперва была идея "метра", как секундного маятника (в середине XVII века), потом обнаружили, что на разных широтах период колебания маятника различен (экспедиция Рише, 1671—1673), а после Ньютона поняли, почему. Это не давало реализовать идею "единицы длины, не требующей эталона", которой могли бы пользоваться во всём мире, не привязываясь к чужой палате мер и весов, но к этому времени уже измерили меридиан, и вместо секундного маятника (994 мм) взяли 1/10000000 расстояния от полюса, до экватора. Остальные меры выводились из мер длины (литр - объём куба со стороной в дециметр, килограмм - масса литра воды).
Выбор именно десятичного деления вместо 60-ричного (12-ричная и 16-ричная система счисления к этому времени обсуждались в литературе, но на практике никто их не применял, реальный выбор между общепринятой в расчётах десятичной и вавилонским наследием шестидесятиричной) сделали не революционеры, а Жан-Шарль шевалье де Борда, морской офицер, инженер, изобретатель и математик. Он считал десятичную систему куда удобнее для расчётов, чем с основанием 60, и предлагал также перейти на десятичную в измерении углов и времени. С углами успех был частичный, мера угла в градах (сотой доле прямого угла) имеет некоторое применение в геодезии, и её следы можно найти на калькуляторах, выбирая аргументы для тригонометрических функций, наряду с радианами и градусами. Со временем был полный провал. Хотя был принят декрет Конвента о её внедрении, она не стала применяемой.

Десятичные меры длины, площади, объёма и массы позволяли устранить разнобой мер в мире, давая единый эталон. Десятичная мера углов упрощала вычисления с тригонометрическими функциями. А для времени существовал общедоступный эталон, длина суток, и разнобоя не было. Такого, как с прочими мерами:

(Оффтоп)

Старинный парижский фут делился на 12 дюймов по 12 линий по 12 точек, а для геометрических измерительных целей он делился на 12 дюймов по 12 линий по 10 точек. Английский Ф. = 12 дюймам по 10 линий в 10 скрупулов или же (межевой Ф.) в некоторых случаях — на 12 дюймов по 12 линий по 12 сек. в 12 терций. Русский Ф., равный английскому, имеет те же подразделения на дюймы и линии, но линия делится на 10 точек. Венский Ф. делится на 12 дюймов по 12 линий; такие же подразделения имеет Ф. испанский, также рейнский или прусский Ф., которому равен и датский. Швейцарский Ф. (pied) подразделяется на 10 дюймов, 100 линий, 1000 черточек. Величина многих Ф. показана в метрических мерах в следующей табличке:

Амстердам 0,28130
Базель 0,29820
Берлин (рейнский) 0,31385
Берн 0,29333
Бремен 0,28935
Венеция 0,34774
Вена 0,31608
Гамбург 0,28649
Дрезден (саксонский) 0,28266
Женева 0,48794
Копенгаген (датский) 0,31384
Краков (стопа) 0,35642
Лондон 0,30479
Любек 0,28760
Люцерн 0,31469
Мадрид 0,28266
Мюнхен (баварский) 0,29186
Неаполь (пальмо) 0,26363
Парижский старый 0,32484
Прага (богемский) 0,29640
Стокгольм (шведский) 0,29684
Франкфурт на Майне 0,28460

Фунты:
Австрийский (для серебра) 561,336 2 венск. марки = 32 лотам = 128 квентам = 512 пфеннигам
Венский 560,060 32 лота = 128 квентам = 512 пфеннигам
Английский
Imperial standard pound Troy 373,242
Imperial standard pound avoirdupois 453,593
Баварский 1811—1871 гг. 560,000 4 фирлинга по 8 лот.; 1 лот = 4 квентам
Баденский 1811—1871 гг. 500,000 10 ценлингов = 100 центам = 1000 декам = 10000 асам
Бременский 1818—1857 гг. 498,500 2 марки = 16 унциям = 32 лотам = 128 квентам = 512 ортам
Вюртембергский 1806—1859 гг. 486,419 16 унций = 32 лотам = 128 квентам = 512 пфеннигам
Гамбургский до 1857 г. 484,609
Германский 1872—1884 гг. 500,000 2 марки = 16 унциям = 320 энгельсам = 50 декаграмм = 500 граммам
Голландский до 1820 г. 492,168 = 1280 фирлингам = 2560 троискам=2 марки = 16 унциям = 32 лотам = 128 драхмам
Амстердамский до 1820 г. 494,035 16 унций = 32 лотам = 128 квинтинам =
Датский с 1861 г. 500,000 = 512 ортам=32 лота = 128 квентам
Любекский до 1860 г. 486,474 2 марки = 16 унций = 32 лотам = 128 квинтинам = 512 ортам
Норвежский до 1875 г. 498,212 12 унций = 96 драхмам = 288 скрупулам =
Нюрнбергский (аптечный) до 1871 г. 375,854 = 5960 гранам=2 марки = 32 лотам = 128 квентам
Прусский до 1858 г. 467,711 32 лота = 96 золотникам = 9216 долям
Русский 409,512 = 32 лотам = 96 золотникам = 9216 долям = 1/40 пуда;
Русский аптекарский фунт 7/8, или 0,875 русского фунта. = 12 унциям = 96 драхмам = 288 скрупулам = 5760 аптекарским гранам.
Саксонский до 1858 г. 467,214 32 лота = 128 квинтелям
Франкфуртский до 1858 г. 505,128 100 орт = 10000 корнам
Чешский до 1856 г. 514,398 16 унций = 32 лотам
Шведский до 1882 г. 425,076
Швейцарский 500,000

Про меры площади и объёма умолчу. Там страшно.

[Vladimir-80]

Евгений Машеров в сообщении #1422315 писал(а):

А для времени существовал общедоступный эталон, длина суток, и разнобоя не было.

Зато с календарями всё было очень пёстро.

[Lena-Lisa]

Цикл Сатурна 30 лет, 60 = два цикла. Один цикл не удалось бы увязать с целым числом циклов Юпитера (по 12 лет). Дела на небе всегда были поважней каких-то там количеств фаланг.