Производные в L2

[dima_1985]

Вычислить градиент функционала $J(u)=\int\limits_{0}^{l}| y(x,u) -f(x)|^2dx$ в пространстве $L^2(0,l)$. Я немного поискал в интернете и нашёл, что используют два способа:
1) по определению ($J(u+h) - J(u) = \int\limits_{0}^{l}| y(x,u+h) -f(x)|^2dx - \int\limits_{0}^{l}| y(x,u) -f(x)|^2dx $), но мне показалось это слишком трудоемко.
2) вводим оператор $Au=y(x,u)$, тогда мы можем найти производную $ (\left\lVert Au -f \right\rVert^2)'=2<A^*(Au-f),du> $. Осталось найти сопряженный оператор $A^*$. Его можно получить отсюда $<Au,v> = <u,A^*v> $.Из скалярного произведения в $ L^2 $ получим $\int\limits_{0}^{l}y(x,u)v(x)dx$.
Мне интересно, я в правильном направление мыслю ? Какой способ использовать проще ?

[ewert]

dima_1985 в сообщении #1422227 писал(а):

Вычислить градиент функционала $J(u)=\int\limits_{0}^{l}| y(x,u) -f(x)|^2dx$ в пространстве $L^2(0,l)$.

Это не функционал, а просто скалярная функция одной переменной. Соответственно, и не градиент у неё, а просто обычная производная, тупо получаемая дифференцированием по параметру под знаком интеграла.

[dima_1985]

Так $J'(u)=\int\limits_{0}^{l}2<y'(x,u),y(x,u)-f(x)> dx$?

[ewert]

dima_1985 в сообщении #1422231 писал(а):

Так $J'(u)=\int\limits_{0}^{l}2<y'(x,u),y(x,u)-f(x)> dx$?

Так пока что не может быть, т.к. непонятно, что такое штрих. И (если уже по существу): это ничего, что значение выражения -- комплексное?...

[thething]

ewert в сообщении #1422228 писал(а):

обычная производная, тупо получаемая дифференцированием по параметру под знаком интеграла.

Не подскажете, какие для этого в $L_2$ достаточные условия?

[Otta]

dima_1985 в сообщении #1422227 писал(а):

Вычислить градиент функционала $J(u)=\int\limits_{0}^{l}| y(x,u) -f(x)|^2dx$

dima_1985
Вы бы написали, какая функция какому классу принадлежит и кто откуда и куда действует.
Про $u$ - это что, число или действительно функция из $L_2$?