Уравнение четвёртой степени с простым параметром.

[TR63]

Требуется выяснить, при каких значениях параметра существует решение в положительных натуральных числах в уравнении:

$$c^4-4c^3=pb^2$$

$(p)$-простой параметр.
Мои попытки решения:
Предположим, что $b=kc$. Надо доказать, что при любом $(p)$ существует решение или найти контрпример. Если контрпример существует, то надо искать другой способ решения (но в любом случае меня интересует этот способ).
$c^2-4c=pk^2$
$c=2\pm\sqrt{4+pk^2}$
$q^2-pk^2=4$

Теперь надо доказать, что при любом $(p)$ существует $(q;k)$ или найти контрпример.
Как доказать, не знаю. Проверяю на Вольфраме. Но надо найти приличное $(p)$ (если оно существует), начиная с которого решение не существует. Прошу помочь его найти.

Далее хочу выяснить, почему нельзя положительный результат, если он имеет место, экстраполировать в уравнении $q^2-pk^2=4$ на натуральные числа. Ещё далее, сравнить эту задачу с другой.

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1421844 писал(а):

Теперь надо доказать, что при любом $(p)$ существует $(q;k)$ или найти контрпример.

Возьмите четные $q,k$, тогда дело сводится к классическому Пеллю, который разрешим всегда. Нечетные $q,k$ могут быть если $p\equiv 5 \mod 8$, но не всегда. Например для $p=37$ нечетных решений нет.
Исправлено.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1421900 писал(а):

Возьмите четные $q,k$, тогда дело сводится к классическому Пеллю, который разрешим всегда.

Andrey A, точно. Спасибо. (У меня, видно, взгляд замылился, что я этого не заметила; щёлкаю на Вольфраме, исходя из гипотетических соображений, которые в данном случае подтвердились, благодаря Вашей подсказке; теперь можно будет двигаться дальше.)

[TR63]

Теперь хочу сравнить исходную задачу с другой (из "Олимпиадного раздела"; обобщение).
Задача.
Требуется выяснить, существует ли $n\in N$, при котором уравнение

$$c^4-c=nb^2$$

имеет решение в натуральных числах.
Тот факт, что при простых $(n;b;c)$ решений не существует, доказывается просто. Уже имеем отличие с исходной задачей (некоторые детали пропускаю). Возникает вопрос: можно ли экстраполировать результат на натуральные числа. Думаю, что "да". Но нужно аналитическое обоснование или контрпример.
Мои попытки решения.
При $n=1$ получилось, что натуральных решений нет. Далее уравнение можно переписать в виде
$(c^4-c)+(c^2-c)=(n-1)b^2+b^2$
1). $c^2-c=(n-1)b^2-x$
$c_1+c_2=1$
2). $c^4-c^2=b^2+x$
$c_3^2+c_4^2=1$
$(c_1;c_2;c_3;c_4)$ корни уравнения $c^4-c=nb^2$. Верно? Если верно, то дальше просто. Если "нет", то надо искать другой аналитический путь, или экспериментально искать контрпример.