помогите осмыслить определения(замкнутость,ограниченност...)

[dima_1985]

У меня понимание приходит когда я разбираю примеры. Возьмём три примера
1) $x+y \geqslant 1; x \geqslant 0, y \geqslant 0 $
2) $x \cdot y > 1; x \geqslant 0, y \geqslant 0 $
3) $y > \frac{1}{x(1-x)}; 0<x<1 $
Для данных множеств нужно проверить следующие свойства: замкнутость, ограниченность. Начнём с замкнутости. Я в качестве примера брал интервал $(a,b)$ у интервала две предельные точки $a,b$ которые не принадлежат множеству $\{x;a<x<b\}$. Тогда можно сказать 1- замкнутое множество (предельные точки лежащие на $x+y\in \{x+y;x+y \geqslant 1\}$), 2 - не замкнутое(предельные точки лежащие на $xy \notin \{xy;xy>1\}$) , 3 - не замкнутое.
Ограниченность. $U$ огр., если $ \exists R>0 U \in \{||u||\ \leqslant R \}$. Для себя я понимаю это так? Нужно найти на перед заданное число $R$, что в первом примере $\sqrt{<x+y,x+y>} \leqslant R$ и т.д. для остальных примеров. Таких чисел не существует. Отсюда можно сделать вывод, что все множества не ограничены. Данные примеры я подбирал самостоятельно.Для каждого примера я нарисовал графики. Задача №1

Задача №2

Задача №3

Из графиков видно какие точки проверять на замкнутость и понятно, что графики не ограничены. Можно ли не строя графики определить замкнутость и ограниченность ?
Спасибо за ответы!

[arseniiv]

Можно, достаточно для каждого $R$ найти точки множества, расположенные от начала координат не ближе чем $R$.

-- Вт сен 24, 2019 23:14:10 --

Ещё можно показать, что в интересующее множество вложено какое-то неограниченное множество попроще (луч, прямая, угол). Это примерно то же самое, но может иногда выглядеть проще.

[mihaild]

Если множество является пересечением замкнутых множеств - например, задаваемых нестрогими неравенствами вида $f(x, y) \geqslant 0$, где $f$ - непрерывная функция (ваше первое множество именно такого вида - какие $f$ нужно взять?), то оно замкнуто.
С незамкнутостью сложнее: само по себе наличие строгих неравенств не гарантирует незамкнутости. Например, множество, задаваемое парой неравенств $x \geqslant 0$, $x > 1$ - замкнуто, хотя при задании используются и строгие неравенства. Можно проверять так: если при замене хотя бы одного из строгих неравенств на нестрогое множество меняется (аналогично: при замене одного из строгих неравенств на равенство множество получается непустым), то множество незамкнуто, в противном случае - замкнуто.

В ваших рассуждениях вы в первом множестве потеряли граничные точки вида $x = 0, y \geqslant 1$ и $x \geqslant 1, y= 0$.

[dima_1985]

mihaild в сообщении #1417167 писал(а):

(ваше первое множество именно такого вида - какие $f$ нужно взять?)

Я вот не совсем понял мне надо задать два семейства линейных функций, пересечение которых даст заданную область? Если я правильно понял, то $f_1(x)$ = c_1 - x, 1 \leqslant c_1 \leqslant $\infty, x \geqslant 0 $ и $f_2(x)$ = c_2 - x, 0 \leqslant c_2 \leqslant $\infty, x \geqslant 0 $. Пересекая $f_1 \cap f_2$ получим наше исходное множество.

mihaild в сообщении #1417167 писал(а):

В ваших рассуждениях вы в первом множестве потеряли граничные точки вида $x = 0, y \geqslant 1$ и $x \geqslant 1, y= 0$.

. Эти точки принадлежат множеству $x+y \geqslant 1$. Множество замкнуто?

Мне ещё хочется узнать про следующие понятия(как с ними работать): непрерывность, полу непрерывность снизу и выпуклость. Нашел два примера.
В пространстве $l^2$ задана функция $J(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n^2n^{\frac{1}{n} } $. Функция $J(U)=||Au-f||^2$,где $A\in L(H \to F)$. Для этих функций надо показать: непрерывность, полу непрерывность снизу и выпуклость.
Начнём с первого примера. Можно воспользоваться признаком Коши тогда $\lim\limits_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n^2}} x_n^\frac{2}{n}=1 $ если $|x|<1$, то сходиться. Можно сказать что функция непрерывна ? Если $x_n=0$, то $ \lim\limits_{n \to \infty} J(u_n)\geqslant J(u_0)=0 $. Что делать с выпуклостью я не знаю. Воспользоваться определением $J(\alpha x+(1-\alpha)y) \leqslant \alpha J(x) +(1-\alpha)J(y) $ ?
Для второго примера $f$ постоянная, то её можно отбросить. $||Au_n-Au_0|| \leqslant ||Au_n|| + ||Au_0|| $. Норма $|| .||$ непрерывна и функция непрерывна. Выпуклость доказать так $J(\alpha x +(1-\alpha) y )= || A(\alpha x +(1-\alpha) y) - f||^2 =|| \alpha(Ax-f) +(1-\alpha) (Ay - f)||^2 \leqslant ( \alpha||Ax-f|| +(1-\alpha) ||Ay - f|| )^2 \leqslant \alpha J(x)+(1-\alpha)J(y) $.

Спасибо!

[mihaild]

dima_1985 в сообщении #1417492 писал(а):

Я вот не совсем понял мне надо задать два семейства линейных функций, пересечение которых даст заданную область?

Пересечение функций - это что-то невнятное... Я имел в виду, что ваше множество задается системой уравнений вида $f_i(x, y) \geqslant 0$ для некоторого (конечного) набора $f_i$.

dima_1985 в сообщении #1417492 писал(а):

Можно воспользоваться признаком Коши тогда $\lim\limits_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n^2}} x_n^\frac{2}{n}=1 $ если $|x|<1$, то сходиться. Можно сказать что функция непрерывна ?

$J$ определена на пространстве $l_2$ (индекс у пространства квадратично суммируемых последовательностей обычно ставят снизу; если у вас другое пространство - напишите, какое). Т.е. нужно изучать, как она себя ведет в зависимости от последовательности целиком, а не резать последовательность по элементам (это нужно только чтобы доказать, что $J$ вообще определена).

dima_1985 в сообщении #1417492 писал(а):

Для второго примера $f$ постоянная, то её можно отбросить.

Нельзя, это уже другая функция $J$ будет. (ну и дальше рассуждение совершенно некорректное даже если $f = 0$)

Вообще эти упражнения с функциональными пространствами намного сложнее элементарной топологии, про которую вы спрашивали. Очень советую разобраться сначала с ней.

[dima_1985]

mihaild в сообщении #1417506 писал(а):

Пересечение функций - это что-то невнятное... Я имел в виду, что ваше множество задается системой уравнений вида $f_i(x, y) \geqslant 0$ для некоторого (конечного) набора $f_i$.

Пусть $U=\{x \geqslant 0; y \geqslant 0 \}$. Тогда $f(x,y) = x+y; x,y \in U $ и пересекая $(f(x,y) \geqslant 1) \cap (f(x,y) \geqslant 0 ) $ получим заданное множество.

mihaild в сообщении #1417506 писал(а):

Вообще эти упражнения с функциональными пространствами намного сложнее элементарной топологии, про которую вы спрашивали. Очень советую разобраться сначала с ней.

В этих вопросах мне надо побольше почитать. Трудно разбираться без разобранных примеров. Дается определение, а разобранных примеров нет, чтобы понять как это работает на практике.Мне проще понимать на конкретных примерах.
Мне еще хочется определиться с понятиями $ \sup\limits_{U} $ и $ \inf\limits_{U} $.
Модифицируя исходные примеры. $f_1(x,y) = x+y-1;x,y \in U_1 $, где $U_1=\{x \geqslant 0; y \geqslant 0 \}$. Тогда $ \inf\limits_{U_1}=\min\limits_{U_1}=-1 $, a $U_{1\ast}=\{x=0,y=0\} $ ?

$f_2(x,y) = x+y-1;x,y \in U_2 $, где $U_2=\{x > 0; y > 0 \}$. Тогда $ \inf\limits_{U_2}=-1 $, a $U_{2\ast}=\{x=\frac{1}{k},k=1..n;y=\frac{1}{k},k=1..n\}$ и $\min\limits_{U_2}$ не существует ?

$f_3(x,y) = x+y-1;x,y \in U_3 $, где $U_3=\{x > 0; y \in R \}$. Тогда $ \inf\limits_{U_3}=-\infty $ и $U_{3\ast}=\{x \in U_3 ;y=-\infty \}$, а $\min\limits_{U_3}$ не существует ?

$f_4(x,y) = xy;x,y \in U_4 $, где $U_4=\{x \in R ; y \in R \}$. Тогда $ \inf\limits_{U_4}=-\infty $ и $U_{4\ast}=\{ (x,y)| x \in R^{+} \setminus \{0\},y=-\infty \}$ или $U_{4\ast}=\{ (x,y)| x =-\infty ,y \in R^{+} \setminus \{0\} \}$. Точка минимума не существует ?

$f_5(x,y) = xy;x,y \in U_5 $, где $U_5=\{x \leqslant 0 ; y \leqslant 0 \}$. Тогда $ \inf\limits_{U_5} =\min\limits_{U_5}=0 $ и $U_{5\ast}=\{ (x,y)| x \in U_5 ,y=0 \}$ или $U_{5\ast}=\{ (x,y)| x =0 ,y \in U_5 \}$?

[mihaild]

dima_1985 в сообщении #1417594 писал(а):

пересекая $(f(x,y) \geqslant 1) \cap (f(x,y) \geqslant 0 ) $ получим заданное множество

$\{(x, y) | f(x,y) \geqslant 1\} \cap \{(x, y) | f(x,y) \geqslant 0\} = \{(x, y) | f(x,y) \geqslant 0\}$

Что у вас такое $U_{1*}$ (определение)?
Посмотрите сначала на определение супремума и инфинума множества. А супремум функции по множеству - это просто супремум множества её значений.

[dima_1985]

mihaild в сообщении #1417597 писал(а):

Что у вас такое $U_{1*}$ (определение)?

$ U_{1*}$ это подмножество множества $U_{1}$ на котором функция $f(u)$ принимает значение инфинума. К примеру в

dima_1985 в сообщении #1417594 писал(а):

$f_1(x,y) = x+y-1;x,y \in U_1 $, где $U_1=\{x \geqslant 0; y \geqslant 0 \}$.

. $\inf\limits_{u \in U_1 } f_{1}(u)=-1$ инфинум достигаеться в точке $x=0,y=0$, поэтому $U_{1*}=\{x=0,y=0\}$. Я так для себя понял из определения?

[mihaild]

dima_1985 в сообщении #1417669 писал(а):

$ U_{1*}$ это подмножество множества $U_{1}$ на котором функция $f(u)$ принимает значение инфинума.

Оно же легко может быть пустым - инфинум не обязан достигаться.

[iou]

mihaild в сообщении #1417167 писал(а):

Можно проверять так: если при замене хотя бы одного из строгих неравенств на нестрогое множество меняется (аналогично: при замене одного из строгих неравенств на равенство множество получается непустым), то множество незамкнуто, в противном случае - замкнуто.

$x^2 < 0$

:)