Треугольник с целыми сторонами и высотами

[Ktina]

а) Существует ли треугольник, у которого длины всех сторон и всех высот являются целыми числами?

б) А непрямоугольный треугольник с таким свойством?

в) А непрямоугольный и неравнобедренный?

[wrest]

Ktina
На все три вопроса ответ "да".

[Ktina]

wrest
А пример на третий пункт?

[wrest]

Ktina в сообщении #1419924 писал(а):

А пример на третий пункт?

$(1275;2890;2975)$

Hint: Целочисленность и рациональность -- одно и то же в нашем случае (при увеличении в $n$ раз длин сторон, во столько же увеличиваются и высоты: подобие), а у героновых треугольников высоты рациональные ибо $h_i=\dfrac{2S}{l_i}$ где $i$ - номер стороны;$h_i$ -- высота, проведенная к стороне $l_i$; $S$ - площадь.

P.S. Имхо, это надо все же в загадки, а не олимпиаду.

[arqady]

wrest в сообщении #1419930 писал(а):

$(1275;2890;2975)$

$(845,910,975)$ меньше.

[wrest]

arqady в сообщении #1419939 писал(а):

$(845,910,975)$ меньше.

Да, ну так и не просили же привести "наименьший неравнобедренный"...
Но вот вам ещё меньше вашего (и по периметру и по площади): $(260;845;975)$

[Dmitriy40]

Если я нигде не ошибся, то есть ещё ровно один примитивный меньший непрямоугольный и неравнобедренный треугольник $(35;75;100)$ с площадью $1050$ и высотами $60;28;21$. Т.е. он и наименьший.

[wrest]

Dmitriy40
Всё верно, ошибки нет.

[Dmitriy40]

Интересно насколько большим может может быть отношение большей стороны к меньшей в таком треугольнике. Пока нашёл лишь треугольник $(6175;169000;170625)$ с отношением $\approx 27{,}63$, это рекорд.

[Ktina]

Dmitriy40 в сообщении #1420573 писал(а):

Интересно насколько большим может может быть отношение большей стороны к меньшей в таком треугольнике.

Цитата:

Отношение большей стороны к меньшей может принимать сколь угодно большие значения.

(Источник цитаты)

Источник цитаты.

[Dmitriy40]

Можно тогда чуть переформулировать: треугольник (с целочисленными сторонами, высотами и соответственно площадью) наименьшей площади с наибольшим соотношением сторон? Рациональность площади не обеспечивает её минимум при приведении сторон и высот к целым.
В дополнение к предыдущему площадью $505732500$ нашёлся ещё и вот такой: $(280645;273800;8325)$ площадью $656709300$ и соотношением сторон $\approx 33{,}71$.
Плюс интересно будет ли и дальше меняться порядок при смене порядка сортировки (по площади или соотношению сторон), как это было с меньшими этих двух треугольниками.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1421831 писал(а):

Плюс интересно будет ли и дальше меняться порядок при смене порядка сортировки (по площади или соотношению сторон), как это было с меньшими этих двух треугольниками.

Под "величиной" треугольника (большой или маленький) видится три вполне "законных", но очень различных параметра
-- периметр
-- диаметр ("габарит" - наименьший диаметр окружности в которую целиком поместится треугольник)
-- площадь

P.S. А... диаметр это же наибольшая сторона.

[Shadow]

wrest в сообщении #1421832 писал(а):

P.S. А... диаметр это же наибольшая сторона.

Не и для остроугольного треугольника.

[Dmitriy40]

Оказывается если задаться меньшей стороной, то сразу получаются ограничения на площадь, наибольшую сторону и соответственно отношение наибольшей и наименьшей сторон. Т.е. нельзя получить произвольно большое соотношение сторон для заданной меньшей стороны. Правда в реальных треугольниках соотношение в разы меньше этого максимума, но всё же это ограничивает перебор сверху. Да ещё плюс и не все величины меньшей стороны допустимы вообще.

[Dmitriy40]

Переделал перебор и в результате быстро нашлось ещё много треугольников, в частности (в порядке увеличения площади и соотношения сторон):
$(12025;574980;581825),\;S=2859088050,\;k=48{,}385$
$(16539;815924;821437),\;S=6382565490,\;k=49{,}667$
$(21645;1197875;1204720),\;S=12333321000,\;k=55{,}658$
$(40391;3398759;3427320),\;S=48738204060,\;k=84{,}854$
$(120575;10533750;10566875),\;S=611568457500,\;k=87{,}637$
$(216325;22021885;22065150),\;S=2336081560800,\;k=102{,}000$
$(219555;31434700;31577585),\;S=2625991968600,\;k=143{,}825$
$(342805;49455125;49615520),\;S=7503727206000,\;k=144{,}734$
$(520025;79071250;79536375),\;S=9221447317500,\;k=152{,}947$
$(342805;55336275;55389740),\;S=9373190277150,\;k=161{,}578$
$(336175;81402375;81642500),\;S=9590013798750,\;k=242{,}857$
$(800153;204138003;204740180),\;S=53859770711520,\;k=255{,}876$
Это всё что нашлось до миллиона по меньшей стороне. Общее количество непрямоугольных квадратов 3348 штук (и 341 прямоугольных).