Наибольшее Тацечкино число

[Ktina]

Назовём натуральное число Тацечкиным, если оно кратно 7, а его десятичная запись состоит только из нечётных цифр.

Найдите наибольшее Тацечкино число с суммой цифр:

а) 2015

б) 2019

[Dmitriy40]

а) $11113111...111$.
б) $11111311...111$.

[Shadow]

в) 2012

[Ktina]

Shadow в сообщении #1421815 писал(а):

в) 2012

Если у меня нет ошибки в расчётах (в уму трудно, а на бумажке лень), число будет 2008-значным, на 6 (слева) месте будет цифра 5, а остальные - единицы.
Так?

[Shadow]

Ktina в сообщении #1421820 писал(а):

на 6 (слева) месте будет цифра 5, а остальные - единицы.

А не лучше ли если первая цифра 3 и ...еще одна тройка.

[Ktina]

Shadow в сообщении #1421821 писал(а):

Ktina в сообщении #1421820 писал(а):

на 6 (слева) месте будет цифра 5, а остальные - единицы.

А не лучше ли если первая цифра 3 и ...еще одна тройка.

Ой

-- 21.10.2019, 10:03 --

Тогда тройка на 1 и 4 местах (слева), да?

[Shadow]

У меня тройки на первом и втором месте получились, но и я мог ошибиться...

$\dfrac{10^{2008}-1}{9}+2\cdot 10^{2007}+2\cdot 10^{2006}\equiv 0 \pmod 7$

-- 21.10.2019, 09:19 --

Да, 3311 делится на 7, и еще 2004 единички, которые тоже делятся на 7, т.к. 2004 делится на 6.

[Dmitriy40]

Ну и в общем случае, для суммы цифр $n\geqslant 6$ (для меньших решений нет):

$$\begin{cases} (10^n-1)/9,&\text{$n \equiv 0 \pmod 6$;}\\ 2 \cdot 10^{n-4}+(10^{n-2}-1)/9,&\text{$n \equiv 1 \pmod 6$;}\\ 22 \cdot 10^{n-6}+(10^{n-4}-1)/9,&\text{$n \equiv 2 \pmod 6$;}\\ 2 \cdot 10^{n-8}+(10^{n-2}-1)/9,&\text{$n \equiv 3 \pmod 6$;}\\ 2 \cdot 10^{n-5}+(10^{n-2}-1)/9,&\text{$n \equiv 4 \pmod 6$;}\\ 2 \cdot 10^{n-7}+(10^{n-2}-1)/9,&\text{$n \equiv 5 \pmod 6$.} \end{cases}$$