2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Остаток от деления простого числа
Сообщение19.10.2019, 00:11 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
а) Остаток от деления простого числа на $n$ может быть только числом Фибоначчи. Найдите все такие $n$ и докажите, что других нет.

б) Остаток от деления простого числа на $k$ может быть только числом, свободным от квадратов. Найдите все такие $k$ и докажите, что других нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаток от деления простого числа
Сообщение19.10.2019, 01:06 
Заслуженный участник


20/08/14
11867
Россия, Москва
а) $n=\{1,2,3,4,6\}$.
б) $k=\{4,6,8,12,18,24,30\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаток от деления простого числа
Сообщение19.10.2019, 01:18 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Dmitriy40
Разве 0 уже стал числом Фибоначчи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаток от деления простого числа
Сообщение19.10.2019, 01:24 
Заслуженный участник


20/08/14
11867
Россия, Москва
Ktina
Да, вполне, в зависимости от соглашений: https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаток от деления простого числа
Сообщение19.10.2019, 01:30 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Dmitriy40
А почему в пункте б) больше 30 не может быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаток от деления простого числа
Сообщение19.10.2019, 03:11 
Заслуженный участник


20/08/14
11867
Россия, Москва
Ktina в сообщении #1421536 писал(а):
Dmitriy40
А почему в пункте б) больше 30 не может быть?
Потому что будет возникать остаток $25$, который как понимаете не свободен от квадратов. А с увеличением $k$ будут ещё и остатки $49$ и $81$ и $121$ и т.д. Доказывать что для какого-то $k=6m>30$ не существует простых вида $6mt+(2n+1)^2$ лень, проще несколько первых проверить прямо, а дальше положиться на плотность и равномерность простых.

(Программа на PARI/GP это подтверждает)

Код:
for(k=2,10^5,forprime(p=2,10^6,if(!issquarefree(p%k),next(2)));print(k))

 Профиль  
                  
 
 Re: Остаток от деления простого числа
Сообщение19.10.2019, 22:48 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Dmitriy40
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group