Упорядоченная пара

[A255]

Ну хорошо, пусть не искусственный.
Может быть, я чего-то не понимаю, но мне кажется, что разрыв тут именно неустранимый, устранимым он являлся бы (или разрыва не было бы вовсе), если бы не вторая строчка в фигурной скобке. Повторюсь: по определению там другая, отличная от определённой на всей прямой f(x)=x$, функция.
И после некоторых раздумий мне даже кажется, что точка зрения Кудрявцева является более предпочтительной, потому что является более общей.

-- 19.10.2019, 01:04 --

Кажется, я малость запутался: предел-то существует, но тем не менее разрыв неустранимый, потому что доопределить функцию её значением в предельной точке невозможно.

Спать пора, наверное... ))

[oleg.k]

A255 в сообщении #1421518 писал(а):

Повторюсь: по определению там другая, отличная от определённой на всей прямой f(x)=x$, функция.

Я не спорю с этим

A255 в сообщении #1421518 писал(а):

И после некоторых раздумий мне даже кажется, что точка зрения Кудрявцева является более предпочтительной, потому что является более общей.

На счет общности не соглашусь. Общепринятое определение предела по Коши (то, которое с проколотыми окрестностями аргумента) более общее. По Кудрявцеву, если функция имеет конечный предел в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке (что очевидно не выполняется, если иметь в виду обычный предел с проколотыми окрестностями). Просто я неоднократно видел мнение, что определение Кудрявцева более предпочтительное.

A255 в сообщении #1421518 писал(а):

Кажется, я малость запутался: предел-то существует, но тем не менее разрыв неустранимый, потому что доопределить функцию её значением в предельной точке невозможно.

А как это совмещается? Если конечный предел существует, то оба односторонних предела существуют и равны (в предположении того, что предельная точка двусторонняя, каковой она является в примере) Как может быть неустранимый разрыв в точке, в которой у функции существует предел? И почему невозможно доопределить? Положите единицу вместо двойки и Вы получите непрерывную функцию.

[A255]

Если положить единицу вместо двойки, мы придём к "классической" линейной функции, которая задана аналитически, формулой, на всей вещественной оси. Но у нас-то линейная функция с выколотой из формулы точкой области определения.
В конце концов, если вспомнить, что функция является множеством упорядоченных пар (ага, вернулись к началу), то глядя на ваш же пример в фигурной скобке, придётся признать, что это совсем другое множество и совсем другая функция, нежели f(x)=x$ без выколотой точки. И доопределяя формулу пределом, мы подменяем одну функцию другой.