Траектория движения в гравитационном поле

[Pphantom]

Хорошо. Тогда таким образом ищется модуль скорости (все-таки аккуратность в обозначениях и выражениях - штука полезная), и вот тут

Euler-Maskerony в сообщении #1421476 писал(а):

Понятно, что синус угла в произвольный момент времени равен $v/v_y$.

переворачиваем дробь (дальше, правда, правильно). Тогда так можно, но последующие попытки дифференцирования дадут в конечном счете те же самые диффуры, проще все же не возиться и сразу выписать их для постоянных осей.

P.S. Если бы вы еще не использовали в качестве переменной дифференцирования $x$... понятно, что формально можно, но воспринимать происходящее (при наличии осей, "естественного" обозначения для $y$ и того, что этот $x$ фактически - время) основательно мешает.

[Euler-Maskerony]

Pphantom в сообщении #1421498 писал(а):

P.S. Если бы вы еще не использовали в качестве переменной дифференцирования $x$... понятно, что формально можно, но воспринимать происходящее (при наличии осей, "естественного" обозначения для $y$ и того, что этот $x$ фактически - время) основательно мешает.

Хорошо, учту в дальнейшем.

Проблема в том, что полученное диф. уравнение нелинейно, и Maple не может его решить относительно синуса. Только через ряд по степеням $t$. Может, есть какой-нибудь другой вариант решения?

[Утундрий]

Насколько принципиально это ваше религиозное условие "тяга против скорости"?

[Pphantom]

Euler-Maskerony в сообщении #1421503 писал(а):

Может, есть какой-нибудь другой вариант решения?

По-видимому, нет. Либо в виде разложения в ряд, либо численно.

[Euler-Maskerony]

Утундрий в сообщении #1421509 писал(а):

Насколько принципиально это ваше религиозное условие "тяга против скорости"?

Ну это один из ключевых элементов условия. Просто, если представить траекторию, то получится довольно интересная кривая. Хотелось получить её уравнение. А ещё хотел узнать, сможет ли при таком "религиозном" условии аппарат погасить горизонтальную скорость при силе тяжести большей, чем проекция силы на нормаль. И ещё интересный момент должен быть в момент полного погашения одновременно горизонтальной и вертикальной скорости.

[Утундрий]

Euler-Maskerony в сообщении #1421516 писал(а):

сможет ли при таком "религиозном" условии аппарат погасить горизонтальную скорость

Навскидку - да. Я когда-то считал в некотором смысле обратную задачу. Взлёт и выход на горизонталь при условии "тяга по скорости". Так вот, там оказалось, что кривая в обратном времени выходит на вертикаль.

[Euler-Maskerony]

Утундрий в сообщении #1421517 писал(а):

Я когда-то считал в некотором смысле обратную задачу. Взлёт и выход на горизонталь при условии "тяга по скорости". Так вот, там оказалось, что кривая в обратном времени выходит на вертикаль.

Решили? Там же похожие уравнения должны быть.

-- 19.10.2019, 01:01 --

Утундрий в сообщении #1421517 писал(а):

Я когда-то считал в некотором смысле обратную задачу.

Или ключевое слово "считал"?

[Утундрий]

Euler-Maskerony в сообщении #1421522 писал(а):

Решили?

Натюрлихъ. Только управляющее ускорение у меня было постоянно (по величине).

[Euler-Maskerony]

Утундрий в сообщении #1421524 писал(а):

Только управляющее ускорение у меня было постоянно (по величине).

"Управляющее" - это какое?

В любом случае взглянул бы на решение или на идею.

[fred1996]

Утундрий в сообщении #1421524 писал(а):

Euler-Maskerony в сообщении #1421522 писал(а):

Решили?

Натюрлихъ. Только управляющее ускорение у меня было постоянно (по величине).

А вот эта задача выглядит поинтереснее и поперспективне на первый взгляд. Хотя никогда не считал.

[Утундрий]

fred1996 в сообщении #1421528 писал(а):

задача выглядит поинтереснее и поперспективне на первый взгляд

Вот именно, что выглядит. Всё-таки это не оптимум, как бы не казалось обратное. Впрочем, для достаточно большой тяговооружённости траектория мало отличается от оптимальной.

Euler-Maskerony в сообщении #1421527 писал(а):

взглянул бы на решение или на идею

Постановка дана выше, решение я вам уже озвучил. Проверьте.

[Euler-Maskerony]

Утундрий в сообщении #1421529 писал(а):

решение я вам уже озвучил. Проверьте.

Не понял. Когда?

[Утундрий]

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\dot x &=& u} \\ {\dot y &=& v} \\ {\dot u &=& - f\cos \theta } \\ {\dot v &=& f\sin \theta - 1} \\ \end{array} } \right. \qquad \operatorname{tg} \theta = - \frac{v}{u} \qquad f \equiv const \geqslant 0$$

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {u &=& V\cos \theta } \\ {v &=& - V\sin \theta } \\ \end{array} } \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\dot V &=& - f + \sin \theta } \\ {V\dot \theta &=& \cos \theta } \\ \end{array} } \right.$$

$$\frac{{dV}}{{Vd\theta }} = - \frac{f}{{\cos \theta }} + \operatorname{tg} \theta \qquad \Rightarrow \qquad u = Ce^{ - f \xi } \qquad \xi : = \operatorname{arcch} \left( {\frac{1}{{\cos \theta }}} \right)$$

$$dt = C\operatorname{ch} \xi e^{ - f\xi } d\xi = \frac{C}{2}\left[ {e^{\xi (1 - f)} + e^{ - \xi (1 + f)} } \right]d\xi $$

$$v = - Ce^{ - f\xi } \operatorname{sh} \xi $$

$$dx = \frac{{C^2 }}{2}\left[ {e^{\xi (1 - 2f)} + e^{ - \xi (1 + 2f)} } \right]d\xi $$

$$dy = - \frac{{C^2 }}{4}\left[ {e^{2\xi (1 - f)} - e^{ - 2\xi (1 + f)} } \right]d\xi $$

Другими словами, по мере стремления $\xi$ к бесконечности ($\theta$ при этом стремится к $\pi/2$) возможны несколько случаев. При $0 \leqslant f \leqslant 1/2$ горизонтальная координата $x$ неограниченно возрастает; при $1/2<f \leqslant 1$ координата $x$ стремится к конечному пределу, но время этого стремления неограниченно. Если $f>1$, то конечные пределы имеют как $x$ так и $t$ c $y$-ом.

[Euler-Maskerony]

Интересно. Один из вопросов, получается, решен. Только я не понимаю, почему в некоторых уравнениях размерности величин не совпадают? Как здесь:

Утундрий в сообщении #1421581 писал(а):

$V\dot \theta &=& \cos \theta $

Получается, что здесь вы просто получили модель поведения, т.е. не было цели получения уравнения для дальнейшей работы с ним?

[Утундрий]

Euler-Maskerony в сообщении #1421611 писал(а):

Только я не понимаю, почему в некоторых уравнениях размерности величин не совпадают?

Подумайте над этим вопросом чуть дольше.