Упорядоченная пара

[hiraev]

Помогите разобраться с определением упорядоченной пары.
По Кудрявцеву:

Цитата:

Пара вида $\{x, \{x, y\}\}$, где $x \in X, y \in Y$, $\{x, y\}$ - пара элементов
$x, y$ называется упорядоченной парой элементов $x$ и $y$.
Элемент $x$ называется первым элементом упорядоченной пары $\{x, \{x, y\}\}$,
а элемент $y$ - вторым.
Упорядоченная пара $\{x, \{x, y\}\}$ обозначается через $(x, y)$.

Почему пишется множество с элементом $x$ и парой $\{x, y\}$?
Почему пара не обозначается просто как множество $\{x, y\}$?

[Xaositect]

Пара должна быть упорядоченной, то есть если $x$ и $y$ различны, то $(x, y)$ и $(y, x)$ должны быть различны. Множества же $\{x, y\}$ и $\{y, x\}$ имеют одни и те же элементы, значит, они равны.

[hiraev]

Это понятно. Меня смущает сама запись $\{x, \{x, y\}\}$. Это значит, что первым элементом в упорядоченной паре является $x$? А если запись была бы такой $\{y, \{x, y\}\}$, то это значило бы, что первым является $y$ и упорядоченная пара записывалась бы как $(y, x)$?

[Pphantom]

hiraev в сообщении #1254065 писал(а):

Это значит, что первым элементом в упорядоченной паре является $x$? А если запись была бы такой $\{y, \{x, y\}\}$, то это значило бы, что первым является $y$ и упорядоченная пара записывалась бы как $(y, x)$?

Да, именно так.

[hiraev]

Спасибо за ответы! Вопрос исчерпан.

[alex_dorin]

У Кудрявцева ошибка. Верно у Куратовского, Винера и т.д.

[arseniiv]

Это ошибка только в том смысле, что мейнстримное определение — это $\{\{x\},\{x,y\}\}$, и у него есть некоторые преимущества перед данным, а корректно оно ровно настолько же. Можно придумать произвольное число столь же корректных конструкций.

[A255]

Случайно наткнулся на этот топик и вспомнил далёкую юность, бдения на учебником анализа Кудрявцева в 3-х томах...
Помнится, меня тоже смущало нагромождение скобок в определении упорядоченных наборов элементов. Так и не выяснил тогда, что получится, если в индуктивном определении "упорядоченной N-ки" раскрыть скобки. (Я инженер, тонкости метаматематики и прочие подобные вещи хоть и увлекательны, но практического значения для меня не имеют.) Но всё же, лучше поздно, чем никогда:
если я правильно понял тогда и понимаю сейчас, то "упорядоченная тройка" $(x,y,z)$ - это $\left\lbrace \left\lbrace x \right\rbrace, \left\lbrace x,y \right\rbrace, \left\lbrace x,y,z \right\rbrace \right\rbrace$ и аналогично "упорядоченная четвёрка" $(x,y,z,t)$ - это $\left\lbrace \left\lbrace x \right\rbrace, \left\lbrace x,y \right\rbrace, \left\lbrace x,y,z \right\rbrace, \left\lbrace x,y,z,t \right\rbrace \right\rbrace$ ... и так далее, в том же духе.
Это так или я ошибаюсь?

[arseniiv]

Так их можно определить, но композицией пар, определённых по Куратовскому, получается другое.

Например,

$$(x, y, z) \equiv ((x, y), z) \equiv (\{\{x\}, \{x, y\}\}, z) \equiv \{\{\{\{x\}, \{x, y\}\}\}, \{\{\{x\}, \{x, y\}\}, z\}\},$$

что не совпадает с $\{\{x\}, \{x, y\}, \{x, y, z\}\}$.

Вообще же ещё раз стоит подчеркнуть, что это всё технические детали. От упорядоченных $n$-к требуется только одно: определение их равенства через равенство элементов, это их математическая суть, а нюансы определения через чистые множества — просто способ не добавлять их в теорию множеств как примитивы и избежать удлинения всевозможных теоретико-множественных доказательств.

[A255]

Ага... вот и прояснилось.
Спасибо. Понятно, что "внутренняя структура" - это не главное, главное - однозначность упорядочения, но всё-таки интересно же.

-- 18.10.2019, 23:15 --

Кстати...
Надо сказать, что нигде, ни в одной книжке я не встречал операции раскрытия скобок для упорядоченной n-ки при n>2 - труд по расстановке непролазного набора скобок в таких случаях везде доверен интересующемуся читателю. А между тем, даже для тройки элементов, если действовать по Куратовскому, частокол получается довольно утомительным. А результат совсем не очевидным. И не у каждого терпения хватит.
Это так, мысли вслух.

[oleg.k]

(Оффтоп)

A255 в сообщении #1421472 писал(а):

Случайно наткнулся на этот топик и вспомнил далёкую юность, бдения на учебником анализа Кудрявцева в 3-х томах...

Позвольте поинтересоваться, как Вы понимаете предел по Коши? У меня первоначальное знакомство с матаном тоже было по Кудрявцеву, но (при всем к нему уважении) определение предела по непроколотым окрестностям мне сильно не зашло.

[A255]

(Оффтоп)

oleg.k, форум меня предупреждает об ответственности за развитие оффтопика.
Но в любом случае, чтобы ответить на ваш вопрос, мне нужно подробнее знать, что именно вас смутило.

[oleg.k]

Кудрявцев писал(а):

Определение 9. Точка $a$ называется пределом функции $f: X \to \mathbb{R}$ при $x \to x_0$ (или, что то же, в точке $x_0$), если для любой окрестности $U(a)$ точки $a$ существует такая окрестность $U(x_0)$ точки $x_0$, что $f(X \cap U(x_0)) \subset U(a)$.

Как видите, в определении фигурируют непроколотые окрестности аргумента. В общепринятом определении окрестности проколотые. С точки зрения определения Кудрявцева, функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,

$$\begin{cases} $f(x) = x,&\text{если $x \in \mathbb{R} \backslash 1$;}\\ 2,&\text{если $x = 1$;} \end{cases}$$

предела в точке $x_0 = 1$ не имеет. А с точки зрения общепринятого имеет и он равен единице. Понятно, что разница не очень большая. Матан можно построить, пользуясь любым определением. Но нюансы есть. Например, по Кудрявцеву предел композиции двух функций равен пределу внешней, между тем, как с т.з. общепринятого определения, эта теорема не верна (чтобы она стала верна, надо либо потребовать непрерывность внешней, либо наложить очевидное условие на внутреннюю). Мне предел по Кудрявцеву кажется и неудобным, и не отвечающим идее предела (имхо предел - это не про все точки из окрестности аргумента, а про те, которые "рядом"). Вот я и решил поинтересоваться, удобно ли Вам мыслить предел по Коши с т.з. определения Кудрявцева.

[A255]

Честно говоря, таких злокачественных мест у Кудрявцева я не помню. Насколько понимаю, в приведённой формуле построен совершенно искусственный пример функции с неустранимым разрывом. И я бы не сказал, что по общепринятой точке зрения предел в $x_0 = 1$ равен единице - дело-то в том, что определённая в фигурной скобке функция вовсе не тождественна f(x)=x, определённой на всей прямой. Это разные функции.

[oleg.k]

A255 в сообщении #1421506 писал(а):

Насколько понимаю, в приведённой формуле построен совершенно искусственный пример функции с неустранимым разрывом.

Ну почему же искусственный? Тогда и функция Дирихле искусственная, и функция Римана... А вот разрыв как раз таки устранимый. Оба односторонних предела существуют и совпадают.

-- 19.10.2019, 00:47 --

A255 в сообщении #1421506 писал(а):

И я бы не сказал, что по общепринятой точке зрения предел в $x_0 = 1$ равен единице - дело-то в том, что определённая в фигурной скобке функция вовсе не тождественна f(x)=x, определённой на всей прямой. Это разные функции.

А чему тогда равен предел в этой точке $x_0 = 1$ по общепринятой точке зрения? Функции конечно же не тождественны. Но мы же не будем дискриминировать эту функцию лишь только потому, что она не тождественна какой-то другой функции

-- 19.10.2019, 00:50 --

A255 в сообщении #1421506 писал(а):

Честно говоря, таких злокачественных мест у Кудрявцева я не помню.

Извиняюсь, не указал страницу. В моем издании предложение из цитаты находится на с. 179.