Добрый день.
Возникли сложности с пониманием операторов умножения матриц.
В случае с числовыми пространствами и многочленами все вроде бы понятно, а с матрицами - ступор. Натолкните, пожалуйста, на правильный путь.
Есть задача: Дан оператор
![$\mathsf{A}\in \mathbb{R}^{2 \mathsf{x} 3}$ $\mathsf{A}\in \mathbb{R}^{2 \mathsf{x} 3}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/b/a5b9f8a97859a026170345dcbf0d6e0c82.png)
, который производит умножение матрицы на матрицу
![$$ A = \begin{bmatrix}
1& -3 & \\
-2& 6 & \\
\end{bmatrix}$$ $$ A = \begin{bmatrix}
1& -3 & \\
-2& 6 & \\
\end{bmatrix}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/4/3b494a053dfa3759574b779652d40dcb82.png)
слева.
Нужно построить его образ и ядро.
Ядро ищем, исходя из формулы
![$AX=0$ $AX=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/3/95365ea29df003670bc3ddbb6ad0f5d582.png)
, т.е нужно найти множество таких матриц, чтобы произведение
![$AX$ $AX$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/f/b3fd731118008f1d6ae079860fd8ad1a82.png)
было равно 0.
Но как это сделать, это ведь не СЛАУ? Искать сами элементы матрицы X, исходя из произведения? Получается вектор (3,1). И что?
Образ искал по определению, выписал 6 векторов базиса пространства, т.е матрицы, у которых единственная 1 на соответствующей позиции, а остальные элементы нулевые. Применяя оператор к базисным векторам, т.е по сути умножая их на матрицу А, получил 6 матриц, 3 из которых линейно выражаются через другие. Это и будет образом?
В общем, запутался совсем, помогите, пожалуйста, разобраться.
-- 18.10.2019, 17:14 --Расписал произведение
![$AX=0$ $AX=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/3/95365ea29df003670bc3ddbb6ad0f5d582.png)
для произвольной матрицы
![$$ X = \begin{bmatrix}
x_{11}&x_{12} &x_{13} \\
x_{21}&x_{22} &x_{23} \\
\end{bmatrix}$$ $$ X = \begin{bmatrix}
x_{11}&x_{12} &x_{13} \\
x_{21}&x_{22} &x_{23} \\
\end{bmatrix}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/a/96ac69a1b1abb017787fd6c30d340e9d82.png)
Получил матрицу
![$$\begin{bmatrix}
x_{11}-3x_{21}&x_{12}-3x_{22} &x_{13}-3x_{23} \\
-2x_{11}+6x_{21}&-2x_{12}+6x_{22} &-2x_{13}+6x_{23} \\
\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}
x_{11}-3x_{21}&x_{12}-3x_{22} &x_{13}-3x_{23} \\
-2x_{11}+6x_{21}&-2x_{12}+6x_{22} &-2x_{13}+6x_{23} \\
\end{bmatrix}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/2/5d2144ed18647c635beb05b82ee4d64982.png)
Элементы этой матрицы должны быть нулевыми для принадлежности ядру.
Таким образом пришли к однородной СЛАУ с квадратной матрицей:
![$$\begin{bmatrix}
1&0 &0&-3&0&0 \\
0&1 &0&0&-3&0 \\
0&0 &1&0&0&-3 \\
-2&0 &0&6&0&0 \\
0&-2 &0&0&6&0 \\
0&0 &-2&0&0&6
\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}
1&0 &0&-3&0&0 \\
0&1 &0&0&-3&0 \\
0&0 &1&0&0&-3 \\
-2&0 &0&6&0&0 \\
0&-2 &0&0&6&0 \\
0&0 &-2&0&0&6
\end{bmatrix}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/1/f81ead05cda5cf3ca3c76432c2a88ecb82.png)
Ранг матрицы равен 3. В итоге имеем 3 набора элементов матриц или, что тоже самое, 3 матрицы:
1)
![$$\begin{bmatrix}
3& 0 &0 \\
1 &0 & 0\\
\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}
3& 0 &0 \\
1 &0 & 0\\
\end{bmatrix}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/c/78c41ff5133f10022c94d8651e7fcfd182.png)
2)
![$$\begin{bmatrix}
0& 3 &0 \\
0 &1 & 0\\
\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}
0& 3 &0 \\
0 &1 & 0\\
\end{bmatrix}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/c/5ac7725de21587d1baacf651142da07482.png)
3)
![$$\begin{bmatrix}
0& 0 &3 \\
0 &0 & 1\\
\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}
0& 0 &3 \\
0 &0 & 1\\
\end{bmatrix}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/e/53e7d0dc30c5764cf5c9af59dc957fa382.png)
Будет ли это базисом ядра?
В ответе указаны 2 матрицы размера 2х2
-- 18.10.2019, 17:26 --Расписал произведения
![$Ae_{i}, \overline{i=1,6}$ $Ae_{i}, \overline{i=1,6}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/2/8c217c9f7b01dcdc138a05c06001266782.png)
.
Например,
![$$Ae_1=\begin{bmatrix}
1&0 & 0\\
-2&0 &0 \\
\end{bmatrix}$$ $$Ae_1=\begin{bmatrix}
1&0 & 0\\
-2&0 &0 \\
\end{bmatrix}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/b/47bcbd28f0cc1a176d746aabb581b51082.png)
,
![$$Ae_4=\begin{bmatrix}
-3&0 & 0\\
6&0 &0 \\
\end{bmatrix}$$ $$Ae_4=\begin{bmatrix}
-3&0 & 0\\
6&0 &0 \\
\end{bmatrix}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/b/57b95394269d45d0a0ce8f4ad65cc23182.png)
Получаются 6 матриц 2х типов. Матрицы 2го типа выражаются через первый тип, в котором 3 матрицы, аналогичные
![$Ae_1$ $Ae_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/6/c56b0ed4b005806f5a39185c1ca96ca182.png)
.
Т.о получается 3 вектора базиса.
Вроде похоже на правду, т.к. размерности ядра и образа совпадают с размерностью пространства.
Или я где-то ошибаюсь?
Я не могу понять, почему в ответах указаны 2 матрицы размера 2х2, так же не может быть.