Оператор умножения матрицы

[pandemodeus]

Добрый день.
Возникли сложности с пониманием операторов умножения матриц.
В случае с числовыми пространствами и многочленами все вроде бы понятно, а с матрицами - ступор. Натолкните, пожалуйста, на правильный путь.
Есть задача: Дан оператор $\mathsf{A}\in \mathbb{R}^{2 \mathsf{x} 3}$, который производит умножение матрицы на матрицу

$$ A = \begin{bmatrix} 1& -3 & \\ -2& 6 & \\ \end{bmatrix}$$

слева.
Нужно построить его образ и ядро.
Ядро ищем, исходя из формулы $AX=0$, т.е нужно найти множество таких матриц, чтобы произведение $AX$ было равно 0.
Но как это сделать, это ведь не СЛАУ? Искать сами элементы матрицы X, исходя из произведения? Получается вектор (3,1). И что?
Образ искал по определению, выписал 6 векторов базиса пространства, т.е матрицы, у которых единственная 1 на соответствующей позиции, а остальные элементы нулевые. Применяя оператор к базисным векторам, т.е по сути умножая их на матрицу А, получил 6 матриц, 3 из которых линейно выражаются через другие. Это и будет образом?
В общем, запутался совсем, помогите, пожалуйста, разобраться.

-- 18.10.2019, 17:14 --

Расписал произведение $AX=0$ для произвольной матрицы

$$ X = \begin{bmatrix} x_{11}&x_{12} &x_{13} \\ x_{21}&x_{22} &x_{23} \\ \end{bmatrix}$$

Получил матрицу

$$\begin{bmatrix} x_{11}-3x_{21}&x_{12}-3x_{22} &x_{13}-3x_{23} \\ -2x_{11}+6x_{21}&-2x_{12}+6x_{22} &-2x_{13}+6x_{23} \\ \end{bmatrix}$$

Элементы этой матрицы должны быть нулевыми для принадлежности ядру.
Таким образом пришли к однородной СЛАУ с квадратной матрицей:

$$\begin{bmatrix} 1&0 &0&-3&0&0 \\ 0&1 &0&0&-3&0 \\ 0&0 &1&0&0&-3 \\ -2&0 &0&6&0&0 \\ 0&-2 &0&0&6&0 \\ 0&0 &-2&0&0&6 \end{bmatrix}$$

Ранг матрицы равен 3. В итоге имеем 3 набора элементов матриц или, что тоже самое, 3 матрицы:
1)

$$\begin{bmatrix} 3& 0 &0 \\ 1 &0 & 0\\ \end{bmatrix}$$

2)

$$\begin{bmatrix} 0& 3 &0 \\ 0 &1 & 0\\ \end{bmatrix}$$

3)

$$\begin{bmatrix} 0& 0 &3 \\ 0 &0 & 1\\ \end{bmatrix}$$

Будет ли это базисом ядра?
В ответе указаны 2 матрицы размера 2х2

-- 18.10.2019, 17:26 --

Расписал произведения $Ae_{i}, \overline{i=1,6}$.
Например,

$$Ae_1=\begin{bmatrix} 1&0 & 0\\ -2&0 &0 \\ \end{bmatrix}$$

,

$$Ae_4=\begin{bmatrix} -3&0 & 0\\ 6&0 &0 \\ \end{bmatrix}$$

Получаются 6 матриц 2х типов. Матрицы 2го типа выражаются через первый тип, в котором 3 матрицы, аналогичные $Ae_1$.
Т.о получается 3 вектора базиса.
Вроде похоже на правду, т.к. размерности ядра и образа совпадают с размерностью пространства.
Или я где-то ошибаюсь?
Я не могу понять, почему в ответах указаны 2 матрицы размера 2х2, так же не может быть.

[DeBill]

pandemodeus в сообщении #1421427 писал(а):

Дан оператор $\mathsf{A}\in \mathbb{R}^{2 \mathsf{x} 3}$

Нехорошо так писать. Имели ли Вы в виду оператор из этого пр-ва в себя?

pandemodeus в сообщении #1421427 писал(а):

Расписал произведение $AX=0$ для п

Нормальный ход. Хотя можно и проще: это значит, что столбцы матрицы $X$ лежат в ядре А, и т.д.

pandemodeus в сообщении #1421427 писал(а):

размерности ядра и образа

Имелось в виду - сумма их?

pandemodeus в сообщении #1421427 писал(а):

Т.о получается 3 вектора базиса.

Надо бы исчо сказать про их независимость, - и , да, базис это.

pandemodeus в сообщении #1421427 писал(а):

Или я где-то ошибаюсь?

Нет.

pandemodeus в сообщении #1421427 писал(а):

Я не могу понять, почему в ответах указаны 2 матрицы размера 2х2,

Я - тоже. Может, опечатки где-то?

[pandemodeus]

DeBill в сообщении #1421449 писал(а):

Нехорошо так писать. Имели ли Вы в виду оператор из этого пр-ва в себя?

Нехорошо, согласен. Да, именно он и имелся ввиду.

DeBill в сообщении #1421449 писал(а):

Имелось в виду - сумма их?

Да, конечно же сумма. Вечер пятницы, прошу прощения.

DeBill в сообщении #1421449 писал(а):

Может, опечатки где-то?

Может и опечатки, была мысль, что в самом условии вместо матриц 2х3 имелись матрицы 2х2...Ну, для меня главное, что я мыслю верно, а не ответы учебника. Спасибо!