Кватернионы на базе векторов

[Утундрий]

Сейчас у каждого есть под рукой векторы ${\mathbf{a,b,c}}$ и числа (скаляры) $\alpha ,\beta ,\gamma$. Векторы мы умеем складывать ${\mathbf{a + b,b + c,c + a}}$ и умножать на числа $\alpha {\mathbf{b}},\beta {\mathbf{c}},\gamma {\mathbf{a}}$, а числа - складывать $\alpha + \beta ,\beta + \gamma ,\gamma + \alpha$ и умножать не только на векторы, но и на самих себя $\alpha \beta ,\beta \gamma ,\gamma \alpha $. И этого вполне достаточно, но...

Нет-нет, да и потянет иногда снова вверх - к гамильтоновым высотам! (Столь беспощадно некогда разрушенным Гиббсом и Хевисайдом, мир с ними обоими).

Evadere ad auras
Hoc opus, hic labor est.

§ 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАТЕРНИОНА

Где совмещают несовместимое

Считаем трёхмерную векторную алгебру выученной.

Составим "противозаконную" сумму скаляра и вектора по имени кватернио́н

$$A: = \alpha + {\mathbf{a}}$$

Определим умножение кватернионов правилом

$$\left( {\alpha + {\mathbf{a}}} \right) \circ \left( {\beta + {\mathbf{b}}} \right): = \alpha \circ \beta + \alpha \circ {\mathbf{b}} + {\mathbf{a}} \circ \beta + {\mathbf{a}} \circ {\mathbf{b}}$$

где в свою очередь полагается

$$\begin{gathered} \alpha \circ \beta : = \alpha \beta \hfill \\ \alpha \circ {\mathbf{b}} = {\mathbf{b}} \circ \alpha : = \alpha {\mathbf{b}} \hfill \\ {\mathbf{a}} \circ {\mathbf{b}}: = {\mathbf{a}} \times {\mathbf{b}} - {\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}} \hfill \\ \end{gathered}$$

Присутствие в последнем правиле векторного умножения приводит к некоммутативности умножения кватернионов.

Так ${\mathbf{a}} \circ {\mathbf{b}} \ne {\mathbf{b}} \circ {\mathbf{a}}$, за исключением случая коллинеарных $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.

§ 1. СОПРЯЖЕНИЕ И АССОЦИАТИВНОСТЬ

Где сопрягают и раскрывают скобки

Введём сопряжение кватерниона

$$\overline{A}=\overline{\alpha + {\mathbf{a}}}:=\alpha - {\mathbf{a}}$$

При помощи сопряжения можно выделить из кватерниона $A = \alpha + {\mathbf{a}}$ его скалярную и векторную части

$$\begin{gathered} \operatorname{scal} \left( A \right): = \frac{{A + \overline{A}}}{2} = \alpha \hfill \\ {\mathbf{vec}}\left( A \right): = \frac{{A - \overline{A}}}{2} = {\mathbf{a}} \hfill \\ \end{gathered} $$

Очевидно, что

$$\overline{\overline{A}}=A$$

Менее очевидно, но легко проверяется

$$ \overline{A \circ B} = \overline{B} \circ \overline{A}$$

Пользуясь известным из векторной алгебры соотношением

$${\mathbf{a}} \times \left( {{\mathbf{b}} \times {\mathbf{c}}} \right) = \left( {{\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{c}}} \right){\mathbf{b}} - \left( {{\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}}} \right){\mathbf{c}}$$

и симметриями смешанного произведения

$$\left( {{\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}}} \right): = {\mathbf{a}} \cdot \left( {{\mathbf{b}} \times {\mathbf{c}}} \right)$$

прямой подстановкой убеждаемся в ассоциативности перемножения трёх кватернионов

$$\left( {A \circ B} \right) \circ C = A \circ \left( {B \circ C} \right)$$

При этом, будучи верна для трёх, ассоциативность автоматически оказывается справедливой и для произвольного числа сомножителей.

Теперь нетрудно получить правило

$$ \overline{A \circ B \circ ... \circ Z} = \overline{Z} \circ ... \circ \overline{B} \circ \overline{A}$$

§ 2. МОДУЛЬ И ОБРАЩЕНИЕ

Где измеряют и обращают

Определим модуль (норму, длину) кватерниона

$$\left| {\alpha + {\mathbf{a}}} \right|: = \sqrt {\alpha ^2 + {\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{a}}} $$

Кватернион с ненулевым модулем называется ненулевым кватернионом.

Квадрат модуля можно вычислить ещё и так

$$\left| A \right|^2 = \overline{A} \circ A = A \circ \overline{A}$$

Откуда последовательно получаем

$$\left| {A \circ B} \right|^2 = A \circ B \circ \overline{A \circ B} = A \circ B \circ \overline{B} \circ \overline{A} = \left| B \right|^2 A \circ \overline{A} = \left| A \right|^2 \left| B \right|^2 $$

Как видно, произведение двух (а потому и любого числа) ненулевых кватернионов есть снова ненулевой кватернион.

Любой ненулевой кватернион имеет обратный

$$A^{ - 1} : = \left| A \right|^{ - 2} \overline{A}$$

Так для кватерниона, обратного к произведению ненулевых кватернионов, получаем выражение

$$\left( {A \circ B \circ ... \circ Z} \right)^{ - 1} = Z^{ - 1} \circ ... \circ B^{ - 1} \circ A^{ - 1} $$

§ 3. ВЕРСОР И ВРАЩЕНИЕ

Где нормируют и вращают

Рассмотрим единичный кватернион $Q$, т.е. такой, что $Q \circ \overline{Q} = 1$. Назовём его ве́рсор и закрепим за ним специальное обозначение

$$Q = p + {\mathbf{q}}$$

Условие нормировки на единицу примет вид

$$p^2 + {\mathbf{q}} \cdot {\mathbf{q}} = 1$$

Далее, всякий встреченный символ $Q$, $p$ или $\mathbf{q}$ (снабжённый, может быть, индексом), считается относящимся к некоторому версору.

Рассмотрим произведение $Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}$. Поскольку $\overline{Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}} = \overline{\overline{Q}} \circ \left( { - {\mathbf{a}}} \right) \circ \overline{Q} = - Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}$, имеем $\operatorname{scal} \left( {Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}} \right) = 0$.

То есть, $Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}$ - чистый вектор и мы построили линейное преобразование векторного пространства.

Рассмотрим образы двух произвольных векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$

$$\begin{gathered} {\mathbf{a'}} = Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q} \hfill \\ {\mathbf{b'}} = Q \circ {\mathbf{b}} \circ \overline{Q} \hfill \\ \end{gathered} $$

и составим их кватернионное произведение

$${\mathbf{a'}} \circ {\mathbf{b'}} = Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q} \circ Q \circ {\mathbf{b}} \circ \overline{Q} = Q \circ {\mathbf{a}} \circ {\mathbf{b}} \circ \overline{Q}$$

Отсюда, выделяя скалярную и векторную части, получаем

$$\begin{gathered} {\mathbf{a'}} \cdot {\mathbf{b'}} = {\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}} \hfill \\ {\mathbf{a'}} \times {\mathbf{b'}} = Q \circ \left( {{\mathbf{a}} \times {\mathbf{b}}} \right) \circ \overline{Q} \hfill \\ \end{gathered}$$

Первое равенство означает, что рассматриваемое преобразование сохраняет длины векторов и углы между ними, а следовательно - является движением.

Из второго, добавив к рассмотрению еще один произвольный вектор $\mathbf{c}$, получим сначала

$$\[ {\mathbf{c'}} \circ \left( {{\mathbf{a'}} \times {\mathbf{b'}}} \right) = Q \circ {\mathbf{c}} \circ \overline{Q} \circ Q \circ \left( {{\mathbf{a}} \times {\mathbf{b}}} \right) \circ \overline{Q} = Q \circ {\mathbf{c}} \circ \left( {{\mathbf{a}} \times {\mathbf{b}}} \right) \circ \overline{Q}$$

а затем, выделением скалярной части, окончательное

$$\left( {{\mathbf{c',a',b'}}} \right) = \left( {{\mathbf{c,a,b}}} \right)$$

Таким образом, рассматриваемое движение векторного пространства сохраняет ориентацию. Кроме того, оно имеет неподвижную точку (нуль).

Следовательно, $\mathbf{a'} = Q \circ \mathbf{a} \circ \overline{Q}$ - вращение.

[Eule_A]

Утундрий
Вы, я так понимаю, хотите прописать методический подход к введению кватернионов не от трёх "мнимых единиц", грубо говоря. В таком случае скажите, Вам известен подход к описанию вращений кватернионами, который был бы достаточно наглядным? То, что Вы написали - вещь принципиально известная, но, глядя на кватернион, не всегда легко сразу представить себе определяемое им вращение.

Чтобы было понятно, что имеется в виду, приведу пример. Пусть есть твёрдое тело. Связываю с ним систему координат и задаю кватернионом 1 её поворот относительно некоторой фиксированной системы координат. Тем самым определяю ориентацию тела в пространстве. А теперь пусть есть кватернион 2, который даст новое положение тела относительно той же фиксированной системы координат. Есть, конечно, стандартный способ определить, как повернулось тело - и ось вращения найти и угол поворота. Но есть ли достаточно простой метод по кватернионам 1 и 2 хотя бы примерно сказать, где ось вращения и какой угол поворота? На взгляд определить, так сказать.

[ozheredov]

(Оффтоп)

Eule_A в сообщении #1421329 писал(а):

вещь принципиально известная

Что означает вот это выражение?

[Утундрий]

Eule_A в сообщении #1421329 писал(а):

Пусть есть твёрдое тело. Связываю с ним систему координат и задаю кватернионом 1 её поворот относительно некоторой фиксированной системы координат. Тем самым определяю ориентацию тела в пространстве. А теперь пусть есть кватернион 2, который даст новое положение тела относительно той же фиксированной системы координат. Есть, конечно, стандартный способ определить, как повернулось тело - и ось вращения найти и угол поворота. Но есть ли достаточно простой метод по кватернионам 1 и 2 хотя бы примерно сказать, где ось вращения и какой угол поворота?

То есть, насколько я понял, имея $\mathbf{a'} = Q_1 \circ \mathbf{a} \circ \overline{Q}_1$ и $\mathbf{a''} = Q_2 \circ \mathbf{a} \circ \overline{Q}_2$ требуется получить поворот от $a'$ к $a''$ ? Ну, очевидно, $\mathbf{a''} = Q_3 \circ \mathbf{a} \circ \overline{Q}_3$, где $Q_3=Q_2 \circ \overline{Q}_1$. Что касается наглядности, у версора ось конечного поворота направлена по его векторной части да и угол поворота, в общем, высчитывается. Хотя, как по мне, имея кватернион поворота, можно просто насчитать сколько угодно самых разных "наглядных" величин. Тех же углов Эйлера, например.

[Eule_A]

Утундрий в сообщении #1421335 писал(а):

Что касается наглядности, у версора ось конечного поворота направлена по его векторной части да и угол поворота, в общем, высчитывается.

Ну, про ось-то понятно, угол тоже большой сложности не представляет для оценки (всё-таки, уж с косинусом-то проблем нет...) Речь именно о той ситуации, которую Вы сформулировали первым предложением. Посчитать, конечно, можно. И к углам Эйлера перейти можно - это всё тоже некое вычисление, не лишённое громоздкости, но простое. Если другого ничего нет - ну, ладно, что ж делать.

Кстати, если мне память не изменяет, подобный подход к кватернионами есть у И.В. Арнольда в его "Теоретической арифметике". Уточню позже.

[arseniiv]

Неплохой подход, действительно полезно использовать то, что скорее всего уже известно.

Утундрий в сообщении #1421325 писал(а):

Квадрат модуля можно вычислить ещё и так

$$\left| A \right|^2 = \overline{A} \circ A = A \circ \overline{A}$$

Почему бы не определять так, а текущее определение выводить?

Утундрий в сообщении #1421325 писал(а):

Любой ненулевой кватернион имеет обратный

$$A^{ - 1} : = \left| A \right|^{ - 2} \overline{A}$$

Опять же почему бы не вывести это, определяя обратный элемент обычнейшим образом — такой, что $A^{-1}\circ A = A\circ A^{-1} = 1$.

Утундрий в сообщении #1421325 писал(а):

То есть, $Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}$ - чистый вектор и мы построили линейное преобразование векторного пространства.

Было бы неплохо описать полнее, почему тут возможно только линейное, это не всем может быть быстро ясно.

Eule_A в сообщении #1421329 писал(а):

Но есть ли достаточно простой метод по кватернионам 1 и 2 хотя бы примерно сказать, где ось вращения и какой угол поворота?

Грубо говоря, взять логарифм, потому что версор для поворота вокруг оси, задаваемой единичным вектором $\mathbf n$, на угол $\varphi$, будет $\exp(\mathbf n\varphi/2)$. У меня был где-то код для логарифма, могу выписать более явно, как его здесь получать, хотя в принципе я его некогда вывел зная вычисление экспоненты.

С комплексными числами похоже (полярная форма), но там нет деления на два, потому что из-за их коммутативности мы можем умножать лишь с одной стороны. В общем случае подобные объекты для вращения дают алгебры Клиффорда, но там векторы отдельно, а элементы группы спина (вот как раз эти) отдельно; а с $\mathbb C, \mathbb H$ нам весьма повезло, что они удобно могут совмещать обе роли и не приводить к страшным формулам.

-- Пт окт 18, 2019 04:50:06 --

Предлагаю обозначать «направление», или знак — компаньон модуля в полярном разложении обратимого кватерниона — как $\hat Q = \operatorname{sgn}Q := Q/|Q|$, и можно также считать $\operatorname{sgn}0 := 0$.

Итак, пусть $V = \exp B = \cos |B| + \hat B \sin |B|$. Тогда $\cos |B| = \operatorname{scal} V$, $\sin |B| = |\operatorname{vec} V|$, так что $|B| = \arctg\frac{|\operatorname{vec} V|}{\operatorname{scal} V}$, и $\hat B = \operatorname{sgn}(\operatorname{vec} V)$, откуда находим весь $B = \hat B |B|$ (но нам это уже не надо, $\hat B$ даcт нам ось поворота, а $2|B|$ — угол). Если же $\operatorname{scal} V = 0$, тогда получится $|B| = \frac{\pi}2$ (то есть угол поворота равен $\pi$) и $\hat B = V$. (На самом деле если подходит $|B| = \alpha$, то подходят и всевозможные $|B| = \alpha + 2\pi m$, от многозначности логарифма не убежишь, но в применениях к поворотам нам достаточно и одного значения.)

-- Пт окт 18, 2019 04:54:14 --

Ещё один corner case: если $\operatorname{vec} V = 0$, получаем угол поворота $2|B| = 2\pi m$, то есть поворота настоящего нет, и неопределённость в оси нам не страшна и даже полагается.

[Eule_A]

arseniiv в сообщении #1421365 писал(а):

Грубо говоря, взять логарифм, потому что версор для поворота вокруг оси, задаваемой единичным вектором $\mathbf n$, на угол $\varphi$, будет $\exp(\mathbf n\varphi/2)$.

Неужели это будет проще, чем просто перемножить два кватерниона? Ладно, у меня был вопрос чисто практического происхождения. Наверное, в такой теме он неуместен, и обсуждать его неинтересно (ну, т.е. мне-то вполне интересно, но - обходился ведь раньше как-то ).

Что же касается подхода, то нужно уточнить, кому адресуется такая методика подачи темы кватернионов? И, в конечном счёте, чем так уж плохо просто постулировать соответствующую алгебру, как это делается для комплексных чисел?

[arseniiv]

Перемножить — это мы скомпозируем два вращения, а логарифм нужен, чтобы разобрать вращение на ось и угол, как вы спрашивали (как и экспонента чтобы собрать его из них), то есть везде разные цели.

Eule_A в сообщении #1421368 писал(а):

И, в конечном счёте, чем так уж плохо просто постулировать соответствующую алгебру, как это делается для комплексных чисел?

В принципе неплохо, рассказывают же физикам тензоры через наборы координат. Но текущий подход удобен явной сразу бросающейся в глаза инвариантностью: что будет если мы выберем другие векторы в качестве $\mathbf{i,j,k}$? — здесь таких вопросов нет, а если мы введём мнимые единицы, то окажется, что достаточно, чтобы они составляли любой ортонормированный правый базис.

В комплексных числах ситуация немного не такая, из-за того что вектор плоскости уже не запихнёшь в мнимую часть одного числа. Ну, это рукомахательно, на самом деле надо наоборот доказывать, что $\mathbb C$ как векторное пространство и как алгебра «правильно совместимы» так же как подпространство векторных кватернионов и как алгебра их всех. • Как я упоминал, если не ужимать всё в одно множество, алгебра Клиффорда будет различать то и то и представлять их «равномерно» — векторы элементами исходного векторного пространства, повороты же произведениями чётного числа векторов, которые не будут ни при каких условиях совпадать с векторами. И там, если мы отталкиваемся от двумерной евклидовой плоскости, произведения чётного числа векторов заполнят двумерное пространство, где выделены два базиса $\{1, \pm i\}$, это вот наше $\mathbb C$ с точностью до сопряжения, и выбор знака в каком-то смысле выбирает ориентацию плоскости. А если отталкиваться от трёхмерного евклидового пространства, вместо этой подалгебры мы получим изоморфную $\mathbb H$, притом опять единица-то там выделена, а вот какие-то конкретные $i, j, k$ уже совсем нет, выбор ориентации оставит ещё целый континуум вариантов.


Утундрий
Кстати я почему-то только лишь недельку назад узнал про dual quaternions, алгебру, позволяющую вращать и параллельно переносить вещи аналогично позволяющим вращать кватернионам, и даже прямо аналогично тому как матрицы четвёртого порядка используются для этого в компьютерной графике вместо матриц третьего (так что странно что я сам не догадался вообще никак). Попробовали бы потом её ввести так же как здесь?

(Они тоже, разумеется, реализуемы клиффордщиной, но. А ещё их можно представлять как пары из вращения и переноса, выполняемого после него, и с этим смыслом на уме ввести умножение таких пар — сложение же нам не понадобится — но не будет ли сложнее вычислять характеристики преобразования? Подход с парами экономит одно число, так что я не очень понимаю, почему компьютерные графики пошли сразу в дуальные кватернионы. Может, хайп, а может оно например оптимизируется как-то или что.)

-- Пт окт 18, 2019 05:24:49 --

Eule_A
Там выше я не очень понятно с какой целью писал, сейчас выкристаллизовался аргумент за этот подход намного более ясный: это и более явно инвариантная система, чем определённая как гиперкомплексная, с единицами, и притом она проще в работе, чем полновесная алгебра Клиффорда, для которой надо куда больше приготовлений сделать и потом ещё её размерность будет в два раза больше, чем необходимо. То есть это очень-очень хороший компромисс, практически не жертвующий ни инвариантности построений, ни простоты операций и вообще первоначального определения.

[arseniiv]

Я ещё вспомнил, что забыл упомянуть и двойные (split) кватернионы $\mathbb H\oplus\mathbb H$, применяющиеся для четырёхмерных вращений как $Q_\ell V Q_r$; их было бы неплохо тоже объяснить подобным образом! (Умножения по отдельности на $Q_\ell, Q_r$ должны давать левое и правое изоклинное вращение, и любое может быть представлено как композиция того и того, но это было бы приятно доказать попрозрачнее; $|Q_\ell| = |Q_r| = 1$.)

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1421365 писал(а):

Почему бы не определять так, а текущее определение выводить?

Показалось более естественным сначала соорудить привычную "сумму квадратов", а потом "заметить", что она равна произведению элемента на сопряженный.

arseniiv в сообщении #1421365 писал(а):

Было бы неплохо описать полнее, почему тут возможно только линейное, это не всем может быть быстро ясно.

Честно говоря, не понял о чём здесь речь.

arseniiv в сообщении #1421369 писал(а):

про dual quaternions

Здесь стимул значительно слабее, потому что трансляции прекрасно реализуются обычными векторами.

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1421430 писал(а):

Честно говоря, не понял о чём здесь речь.

Ну, это выражение могло бы оказаться нелинейным по вектору, мне показалось, что в том месте быстро пробежали, и кто-то может не успеть увидеть, что не могло.

Утундрий в сообщении #1421430 писал(а):

Здесь стимул значительно слабее, потому что трансляции прекрасно реализуются обычными векторами.

Да. А вот как насчёт последнего добавления про четырёхмерные вращения парами кватернионов?

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1421446 писал(а):

это выражение могло бы оказаться нелинейным по вектору

Вот этого я и не могу понять. Как оно могло оказаться нелинейным, когда я его изначально взял (из воздуха) уже линейным?

arseniiv в сообщении #1421446 писал(а):

А вот как насчёт последнего добавления про четырёхмерные вращения парами кватернионов?

Ну, поскольку пространственно четырёхмерных объектов вокруг не так чтобы сильно много, это может иметь смысл в каких-то узкоспециальных случаях. В задаче Кеплера, возможно. Я об этом пока не думал.

____________
Что касается кватернионных функций, то они не блещут разнообразием. Действительно, поскольку любой кватернион $A = \alpha + {\mathbf{a}}$ удовлетворяет тождеству

$$A \circ A = 2\alpha A - \left| A \right|^2 $$

постольку любая кватернионнозначная функция кватерниона сводится к линейной функции следующего вида

$$F\left( A \right) = f\left( {\alpha ,\left| A \right|} \right) + Ag\left( {\alpha ,\left| A \right|} \right)$$

Впрочем, есть и среди таких функций условно полезные. Например, кватернионная экспонента от чистого вектора

$$\operatorname{Exp} \left( {\mathbf{a}} \right): = 1 + {\mathbf{a}} + \frac{1}{{2!}}{\mathbf{a}} \circ {\mathbf{a}} + \frac{1} {{3!}}{\mathbf{a}} \circ {\mathbf{a}} \circ {\mathbf{a}} + ...$$

Так как ${\mathbf{a}} \circ {\mathbf{a}} = - \left| {\mathbf{a}} \right|^2 $, ряд сворачивается до версора

$$\operatorname{Exp} \left( {\mathbf{a}} \right) = \cos \left| {\mathbf{a}} \right| + {\mathbf{\hat a}}\sin \left| {\mathbf{a}} \right|$$

Обратную операцию - логарифм - проще всего определить только на версорах. Поскольку для версора $Q = p + {\mathbf{q}}$ вышеупомянутое тождество имеет вид

$$Q \circ Q = 2pQ - 1$$

то общий вид логарифма следующий

$$\operatorname{Ln} \left( Q \right) = f\left( p \right) + {\mathbf{q}}g\left( p \right)$$

Теперь потребовав

$$\operatorname{Ln} \left( {\operatorname{Exp} \left( {\mathbf{a}} \right)} \right) = {\mathbf{a}}$$

получим

$$\operatorname{Ln} \left( Q \right) = {\mathbf{q}}\frac{{\arccos p}}{{\sqrt {1 - p^2 } }}$$

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1421456 писал(а):

$$\operatorname{Exp} \left( {\mathbf{a}} \right) = \cos \left| {\mathbf{a}} \right| + {\mathbf{a}}\sin \left| {\mathbf{a}} \right|$$

Только там $\hat{\mathbf a}$ перед синусом.

-- Пт окт 18, 2019 22:50:23 --

Заодно спасибо:

arseniiv в сообщении #1421365 писал(а):

Итак, пусть $V = \exp B = \cos |B| + \hat B \sin |B|$.

Тут я, конечно, как и у вас выше тоже предполагал $\operatorname{scal}B = 0$, но почему-то совершенно не написал об этом, балда.

[Утундрий]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1421457 писал(а):

Только там $\hat{\mathbf a}$ перед синусом

Такое случается, когда на бумаге $t {\mathbf{n}}$, а набирая зачем-то решаешь переиначить...