Четыре треугольника

[ИСН]

Хочу четыре треугольника с целочисленными сторонами, из которых (изо всех 12 сторон, то есть) никакие не совпадают. И притом чтобы из этих треугольников, тем не менее, можно было сложить один треугольник, тоже с целыми сторонами.

Можно?

[gris]

то есть итоговый треугольник разбивается на четыре треугольника, у которых нет общих сторон. без бумажки не могу представить. а бывает такое? только если маленький треугольничек совсем внутри.
вот конструкция в обычной системе координат: $\triangle OAB: (0,0),(0,4),(3,0). \triangle OCD: (0,0),(0,-9),(40,0). $
Теперь на луче $BA$ поставим точку $E$ подальше, так, чтобы $|BE|$ была целой. Уже десять целых разных сторон. Будем двигать точку $E$ в надежде на теорему косинусов. Косинусы хорошие.

[worm2]

Как-то так:


-- Ср окт 16, 2019 21:28:40 --

У меня смутное ощущение, что можно выбрать достаточно произвольно 5 различных острых углов $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$, $\gamma_1$, синусы и косинусы которых рациональны, так, чтобы их сумма была меньше $\pi$, у шестого угла $\gamma_2=\pi-(\alpha_1+\alpha_2+\beta_1+\beta_2+\gamma_1)$ тоже автоматически будут рациональными синус и косинус. Так вот, есть ощущение, что если две стороны большого треугольника взять рациональными, то третья и все остальные нужные расстояния тоже окажутся рациональными.
Осталось проверить нарисованное алгеброй. Но я что-то пока пас.

[ИСН]

Ну-с, у кого будет наименьший?

[gris]

Ага. Теперь наименьший понадобился. Потом потребуете из простых чисел
Вот: $(3,4,5),(17,144,145),(23,140,159),(18,20,34)\to (34,145,159)$

[ИСН]

Всё, я удовлетворён. Это уже лучше, чем у меня был.
Был такой: $({\color{red}27},{\color{green!50!black}36},{\color{blue}45}), ({\color{red}104},{\color{green!50!black}78},130),(222,{\color{green!50!black}114},{\color{blue}120}), ({\color{red}77},220,{\color{blue}165})\to(130,220,222)$

[worm2]

Как вам такое?


-- Чт окт 17, 2019 14:32:47 --

Возможно, вы сочтёте это читерством, но тут я отказался от требования рациональности синусов, или, что то же самое, площадей (хотя раньше сам про это писал, но ведь в условии этого нету).

[Gagarin1968]

ИСН
А Вы допускаете целочисленный треугольник со сторонами, скажем, $5, 5, 0$ ? Ну, хотя бы один из четырёх? А? Ну пожалуйста!
Вроде в условии о невырожденности речи не было. Если допускаете, то можно такой минимальный забацать, что пальчики оближете!

[eugensk]

Gagarin1968
Ну не, такой будет вразрез с определением "три точки не лежащие на одной прямой и т.д.". Лучше наверное говорить про разбиение на 3 треугольника.

[ИСН]

worm2 Красота!
Gagarin1968 Вырожденные я уже имплицитно запретил требованием различности сторон

[gris]

А вырожденные, которые не противоречат различности сторон, нельзя?
мне интересно, что хотел "забацать" Gagarin1968.
пред(по)ложу: $(1,8,9),(2,10,12), (3,4,7),(5,6,11)\to (5,7,12)$.
Уж меньше нельзя Но можно ли вообще рассматривать такую фигуру "вырожденный треугольник"? Ведь $(2,3,5)$ и $(1,4,5)$ можно совместить движением, но как треугольники они не равны. Хотя у Погорелова такое бывает.
Это всё пятничная шутка, конечно.
А вот картинка worm2 вызывает надежду, что решение можно получить без большого перебора. Если отталкиваться от центрального треугольника, то косинусы его углов будут рациональны и равны по модулю косинусам тупых углов. Для целочисленности квадратов внешних сторон нужно, чтобы знаменатели косинусов сокращались. То есть можно попробовать предложить удлиннения. Ну и дальше, чтобы квадраты были точными. С египетским треугольником пришлось таки звать компьютер.

[Booker48]

Вроде бы, отталкиваясь от любого треугольника (со сторонами 2, 3, 4, например), можно построить его "окружение" из треугольников, с ограничениями, наложенными ТС. "Окружение" в виде опять-таки треугольника.
Интересно, этот процесс можно продолжать до бесконечности?