2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказательство непрерывности монотонной функции
Сообщение17.10.2019, 00:30 
Пусть функция определена и монотонна на промежутке и множество ее значений - промежуток. Доказать что она непрерывна.
У меня есть идея, что надо сказать, что монотонная функция может иметь точку разрыва первого рода. Тогда, так как по условию она определена на всем отрезке, такой точки тут быть не может. Так ли это? И что делать с дальнейшим доказательством?

 i  Lia: Заголовок приведен в соответствие с содержанием утверждения.

 
 
 
 Re: Доказательство монотонности функции
Сообщение17.10.2019, 01:23 
asperer
asperer в сообщении #1421182 писал(а):
И что делать с дальнейшим доказательством?

Не продолжать его.
Доказывайте по определению.

 
 
 
 Re: Доказательство монотонности функции
Сообщение17.10.2019, 01:26 
Аватара пользователя
asperer в сообщении #1421182 писал(а):
Тогда, так как по условию она определена на всем отрезке, такой точки тут быть не может

может... есть масса всюду определенных разрывных функций

 
 
 
 Re: Доказательство непрерывности монотонной функции
Сообщение17.10.2019, 15:33 
asperer в сообщении #1421182 писал(а):
монотонная функция может иметь точку разрыва первого рода. Тогда, так как по условию она определена на всем отрезке, такой точки тут быть не может. Так ли это?

Наоборот. Такой точки не может быть не потому, что функция определена всюду, а потому, что значения функции заполняют промежуток. И монотонная функция не "может иметь разрывы 1-го рода", а "может иметь разрывы только 1-го рода". Для доказательства этого достаточно.

 
 
 
 Re: Доказательство непрерывности монотонной функции
Сообщение17.10.2019, 16:56 
Аватара пользователя
А тут не надо ли "непрерывна или может быть доопределена до непрерывной"?
$\frac {\sin^2 x} x$

 
 
 
 Re: Доказательство непрерывности монотонной функции
Сообщение17.10.2019, 17:38 
Евгений Машеров в сообщении #1421272 писал(а):
А тут не надо ли "непрерывна или может быть доопределена до непрерывной"?

Не надо -- по условию нечего доопределять.

А вот что было бы полезно, так это уточнить, что имелось в виду под словом "промежуток". Справедливость утверждения от этого не зависит, но оно окажется чуть менее расплывчатым.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group