Замкнутость пространства постоянной положительной кривизны

[Munin]

Munin в сообщении #1391557 писал(а):

В трёхмерном пространстве всюду постоянной положительной кривизны - тоже невозможно. Максимальное такое пространство - 3-сфера, типа $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=r^2.$

А может быть, я и неправ.

У меня возникла такая идея. Возьмём расслоение Хопфа $S^1\hookrightarrow S^3\twoheadrightarrow S^2,$ и заменим в нём слои $S^1$ их универсальными накрытиями - то есть, прямыми $\mathbb{R}.$ Тогда у нас получается бесконечное трёхмерное пространство всюду положительной кривизны... если эти накрытия удастся всюду правильно склеить. В чём я засомневался.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1420359 писал(а):

у меня была такая мысль, что пространство постоянной положительной кривизны может оказаться незамкнутым

Только при наличии особых точек. Если пространство в каждой точке локально евклилово, то нет. Я описал способ, как его можно полностью картографировать.

sergey zhukov в сообщении #1420359 писал(а):

Т.е. в таком пространстве, похоже, нельзя будет построить замкнутую сферу

Это почему? В локально евклидовом пространстве достаточно малую сферу всегда можно построить. Далее что мешает её увеличивать?

sergey zhukov в сообщении #1420359 писал(а):

Правда, в этом случае уже непонятно, в чем же тогда выражается положительная кривизна такого пространства

Положительная кривизна всегда выражается в том, что сумма углов треугольника больше 180 градусов, а длина окружности - меньше $2 \pi r$.

[Vince Diesel]

sergey zhukov в сообщении #1391538 писал(а):

В том числе, возможно, есть пространство постоянной положительной кривизны и незамкнутое. А при переходе к пространствам большей размерности это кажется еще более вероятным.

На этот счет есть quarter-pinched theorem о сфере.

[sergey zhukov]

Вот еще такой вопрос.
Если взять поверхность постоянной отрицательной кривизны, скажем, поверхность Бельтрами, то можно ли часть ее поверхности перемещать вдоль нее самой без разрывов и складок, как это можно делать для сферы? Скажем, мы сделали искривленный лист бумаги точно по поверхности Бельтрами. Можно ли этот лист приложить к этой поверхности в любом ее месте? С одной стороны, искривленная поверхность кажется совершенно жесткой. С другой стороны, например, сегмент однополостного гиперболоида как будто можно изогнуть вдоль прямой образующей.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1421076 писал(а):

Если взять поверхность постоянной отрицательной кривизны, скажем, поверхность Бельтрами, то можно ли часть ее поверхности перемещать вдоль нее самой без разрывов и складок, как это можно делать для сферы?

Да.

[sergey zhukov]

Поверхности постоянной отрицательной кривизны не содержат прямолинейных образующих, но все равно могут изгибаться. Неожиданно для меня.

Еще вот что мне интересно. Допустим, мы установили, что кривизна двумерного пространства везде постоянная, положительная и равна $R$. Следует ли сразу отсюда полная площадь пространства и его максимальный размер? Из примеров построения двумерных поверхностей постоянной положительной кривизны можно заключить, что нет. Например, для сферы это один ответ, для проективного пространства - другой, а для линзы с параметрами (p, q) видимо зависит от этих параметров. Возможно, на основании измерения кривизны мы можем говорить только о верхнем ограничении на полную площадь и максимальный размер пространства?

[Munin]

Может быть, ответы на элементарные вопросы вы будете всё-таки искать сами в учебнике?

[sergey zhukov]

Фоменко в статье о трех поверхностях вращения постоянной отрицательной кривизны пишет:

Цитата:

Анализируя полученные поверхности вращения постоянной отрицательной кривизны, мы видим, что они либо имеют точки нарушения гладкости поверхности, либо являются поверхностями с краем...Таким образом, нарушение гладкости, наличие края или неполнота полученных поверхностей являются препятствиями к реализации “в целом” на них всей плоскости Лобачевского.

Возьмем обычную сферу, вырежем из нее круговой кусок и вставим его обратно выпуклостью внутрь. Получим сферу с вмятиной. У такой сферы теперь есть круговое ребро, но ее внутренняя геометрия от этого никак не изменилась (по аналогии с линией сгиба плоского листа). Кривизна в точках ребра вполне определена и она такая же, как и на всей сфере. У поверхности Бельтрами и у волчка Миндинга, как я понимаю, точно такое же ребро. А если состыковать две катушки Миндинга, то в месте стыка кривизна будет не определена. Это не ребро, а разрыв.

Трудность "реализации “в целом” на них всей плоскости Лобачевского", как я это вижу, заключается в наличии края или особых точек (даже и бесконечно удаленных). Ребра сами по себе никак не мешают, так же как они не мешают реализации геометрии положительной кривизны на сфере. Т.е. под нарушением гладкости понимаются особые точки?

[Brukvalub]

sergey zhukov в сообщении #1391538 писал(а):

Если не представлять себе, что поверхность постоянной положительной кривизны вложена в пространство более высокой размерности, то откуда следует, что такая поверхность вообще "сворачивается"?

В 1972 г. Джозеф Вольф в далекой Америке написал монографию "Пространства постоянной кривизны", затем Ю.Д. Бураго перевел ее на русский язык и в 1982 г. изд-во"Наука" ее издало в СССР. В этой монографии есть подробное описание того, как может быть устроено полное связное псевдориманово пространство заданной сигнатуры и постоянной кривизны, так что можно уже ничего не придумывать, а "просто сесть и прочитать".