Найти область значения функции без использования производной

[kot-obormot]

Добрый вечерЪ! Помогите, пожалуйста, разобраться!

Найти область значений функций без использования производной:

1) $y=\dfrac{1}{x^2+x}$

2) $y=\dfrac{5x}{x^2+1}$

Правильно ли я понимаю, что нужно просто исследовать поведения при больших $x$, также возрастание и убывание по определению?

2) $f(x_1)=\dfrac{5x_1}{x_1^2+1}$, при этом $f(x_2)=\dfrac{5x_2}{x_2^2+1}$

$\dfrac{5x_2}{x_2^2+1}\ge \dfrac{5x_1}{x_1^2+1}$

$\dfrac{5x_2(x_1^2+1)-5x_1(x_2^2+1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}\ge 0$

$\dfrac{5x_2x_1^2+5x_2-5x_1x_2^2-5x_1}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}\ge 0$

$\dfrac{5(x_2x_1-1)(x_1-x_2)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}\ge 0$

Знаменатель положителен при любых действительных $x$, потому его можно не писать.

$(x_2x_1-1)(x_2-x_1)\le 0$.

Если функция возрастает, то $x_2x_1\le 1$, если убывает, то $x_2x_1\ge 0$. Но как это позволит найти наибольшее значение, а как наименьшее?

1) $y=\dfrac{1}{x^2+x}$

При достаточно больших $|x|$ знаменатель стремится к нулю.

Если у нас $x^2+x>0$, то чем больше $x^2+x$, тем меньше дробь. При отрицательных $x$ все наоборот. Но как это может помочь на практике?

[Sonic86]

Я считаю, что вообще ограничивать себя методом бессмысленно. Потому я бы сначала нашел область значений любым способом.
Вы можете хоть как-нибудь найти области значений этих функций? После нахождения областей значений можно предугадать доказательство без использования производной.

[thething]

По второй функции, раз уж Вы с неё начали. Заметьте, что она нечётная. Посмотрите на её предел на плюс бесконечности. Далее, вот Вы получили неравенство

kot-obormot в сообщении #1420534 писал(а):

$(x_2x_1-1)(x_2-x_1)\le 0$

И даже кое-чего из него можете сказать. Решите это неравенство графически в плоскости $x_1Ox_2$ (т.е. нарисуйте область) и найдёте точку, в которой происходит переход от возрастания функции к убыванию. Как-то так..

[Someone]

Можно ещё написать уравнение с параметром $f(x)=c$ и попытаться определить, при каких значениях $c$ это уравнение имеет решение.

[EUgeneUS]

ИМХО, удобно рассматривать области значений функций в знаменателе.
В первом варианте: $g(x) = x^2 + x$ - это парабола рогами вверх, причем корни находятся моментально, после чего сразу же находится её вершина.

Во втором варианте: надо заметить, что $f(0) = 0$, после чего поделить числитель и знаменатель на $x$ и рассматривать $g(x) = x + \frac{1}{x}$

[wrest]

Можно ещё выразить $x$ через $y$, для первого варианта $y=\dfrac{1}{x^2+x}$ получится
$x=\pm \sqrt{\frac{1}{y}+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}$ ну и там уже решить какие $y$ входят в область определения обратной функции, а какие нет.