Фен как реактивный двигатель. Энергия воздуха. ФЛФ,з-ча 40-4

[Uchitel'_istorii]

Условие английское:

PNG. писал(а):

40-4. Air at NTP is flowing at speed v through a smooth pipe of constant cross-sectional area A. As it passes a wire grid which offers negligible resistance to the flow, it is heated; the energy input is P watts. It ultimately emerges from the tube at a speed v'. Write equations for conservation of mass, energy, and momentum as the air traverses the tube, and thus find:
a) v'
b) the final temperature T
c) the thrust* F.

* This is basically a jet engine.

Условие русское:

PNG писал(а):

40. 4. Газ при нормальных давлении и температуре втекает со скоростью $v$ через гладкую трубку с постоянным поперечным сечением площадью $A$. Когда газ проходит через проволочную сетку, оказывающую пренебрежимо малое сопротивление потоку, он нагревается. Приобретаемая мощность равна $q \text{ вт}$. Из трубки газ вытекает со скоростью $v'$. Напишите уравнения, выражающие законы сохранения массы, энергии и импульса для случая, когда через трубку протекает воздух, а затем найдите:
а) $v'$
б) конечную температуру $T$,
в) напор $F$ (основная характеристика реактивного двигателя).

Из секции 40-5 :
$PV = NkT = (\gamma - 1) U$
$U = \tfrac{PV}{\gamma -1} = \tfrac{Pv\Delta t A}{\gamma -1}$
Уравнение для сохранения массы: $v\Delta t A\rho = v'\Delta t A\rho'$
$v\rho = v'\rho'$
Уравнение для сохранения импульса: $v\Delta t A\rho v = v'\Delta t A\rho' v' + F\Delta t$
$v^2\rho = v' ^2 \rho' + F/A$

Уравнение для сохранения энергии: $\tfrac{1}{2}v\Delta t A\rho v^2 + U + q\Delta t= \tfrac{1}{2}v'\Delta t A\rho' v'^2 + U'$
$q$ - мощность нагревателя;
$P = P' = 10^5\text{ Pa}$ - давление воздуха;
$\rho = 1,2 \text{kg/m}^3$ - плотность воздуха;
$\Delta t$ - промежуток времени;
$\gamma = 9/7$.

$\tfrac{1}{2}v^3\Delta t A\rho + \tfrac{Pv\Delta t A}{\gamma -1} + q\Delta t= \tfrac{1}{2}v'^3\Delta t A\rho' + \tfrac{P'v'\Delta t A}{\gamma -1}$
$v^2 + \tfrac{2P}{(\gamma -1)\rho} + \tfrac{2q}{v\rho A}= v'^2 + \tfrac{2Pv'}{(\gamma -1)v\rho}$

$v' = \tfrac{\sqrt{P^2 + 2P\rho v^2(\gamma -1) + (\rho^2v^4+\tfrac{2q\rho v}{A})(\gamma -1)^2} - P}{\rho v (\gamma - 1)}$

$=\sqrt{\tfrac{P^2}{\rho^2 v^2(\gamma -1)^2} + \tfrac{2P}{\rho(\gamma -1)} + (v^2+\tfrac{2q}{A\rho v})} - \tfrac{P}{\rho v (\gamma - 1)}$

$=\sqrt{ (v+\tfrac{P}{\rho v(\gamma -1)})^2 +\tfrac{2q}{A\rho v}} - \tfrac{P}{\rho v (\gamma - 1)}$



В решебнике PNG ответ другой. Расхождения пошли от расчета внутренней энергии движущегося газа. Они почему-то считают , что $U$ будет больше, если объем газа движется (дополнительное слагаемое $\tfrac{P}{\rho}$ перед словами "Внимательно вглядевшись"). Почему? Если взять, скажем, движущиеся в противоположные стороны 2 одинаковых тела, то в движущейся системе энергия равна энергии в системе центра масс плюс энергия тел как целого.

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1420557 писал(а):

Если взять, скажем, движущиеся в противоположные стороны 2 одинаковых тела, то в движущейся системе энергия равна энергии в системе центра масс плюс энергия тел как целого.

Ваши выкладки целиком не проверял, но в этом месте в ваших рассуждениях в применении к рассматриваемой задаче ошибка. Эти рассуждения верны для замкнутой системы. Но для газа в трубе рассматривается поток энергии газа через фиксированное поперечное сечение трубы, а не для фиксированного тела. В потоке газа пролетает через сечение трубы больше высокоэнергетических молекул.

Эта кореляция между энергией и скоростью пролетающих через сечение молекул приводит к тому, что $\left< \left(v_x+v\right)^2\cdot \left(v_x+v\right)\right> =3\left<v_x^2\right>v+v^3$, а $\left< \left(v_x+v\right)^2 \cdot v\right> =\left<v_x^2\right>v+v^3$

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Эти рассуждения верны для замкнутой системы.

За единицу времени в трубу влетает и вылетает одинаковая масса. Почему нельзя считать влетающую массу цельным телом (более холодным), центр масс которого движется со скоростью $v$?

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1420579 писал(а):

Почему нельзя считать влетающую массу цельным телом (более холодным), центр масс которого движется со скоростью $v$?

Потому что рапределение молекул по скоростям в этом влетевшем или вылетевшем газе будет не максвелловское. Максвелловское распределение относится к мгновенному слепку некоторого объёма газа. Для других ситуаций распределение нужно аккуратно пересчитывать. Но сначала необходимо аккуратно определить, что именно понимается под распределением в конкретной ситуации?

[Утундрий]

Ну, можно и правой пяткой левое ухо чесать, протянув ногу со стороны спины. Но хотя бы себе ответьте: накой в этой задаче вообще задумываться о структуре газа?

[realeugene]

Может быть потому, что эта задача иллюстрирует раздел про структуру газа?

[Утундрий]

realeugene в сообщении #1420587 писал(а):

эта задача иллюстрирует раздел про структуру газа

Это как-то можно понять из её условия или требуется божественное всеведение?

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1420588 писал(а):

Это как-то можно понять из её условия или требуется божественное всеведение?

Достаточно интуиции с учётом того, что ТС не очень давно уже задавал вопросы про распределения молекул по скоростям.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Ну а если таким "высшим знанием" не обладать, то увидишь только корявые попытки решить задачу малопригодным для этой цели методом. Ясно, что имеет место быть какое-то "спортивное" условие.

P.S. Дядька Дик такое бы не одобрил.

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1420579 писал(а):

За единицу времени в трубу влетает и вылетает одинаковая масса. Почему нельзя считать влетающую массу цельным телом (более холодным), центр масс которого движется со скоростью $v$?

Кстати, так делать можно, но нужно аккуратно учесть все потоки энергии, связанные с влетающей массой газа. А именно, нужно не забыть про перенос энергии давлением в потоке $p v$. Это тот самый перенос энергии, который используется в гидравлических машинах. На микроскопическом уровне нет давления, но есть корреляции скорости и энергии молекул.

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1420557 писал(а):

Уравнение для сохранения энергии: $\tfrac{1}{2}v\Delta t A\rho v^2 + U + q\Delta t= \tfrac{1}{2}v'\Delta t A\rho' v'^2 + U'$

Работа давления на входе и на выходе забыта.

[Uchitel'_istorii]

Работа : $A = \int_V^{V'} P dV = P (V' - V) = P(v\Delta t A \rho) (\tfrac{1}{\rho '} - \tfrac{1}{\rho})$.
Работа произведена над атмосферой, так?

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1420625 писал(а):

Работа произведена над атмосферой, так?

Так.
В принципе, все уже украдено до нас: в уравнениях вместо внутренней энергии нужно просто писать энтальпию.