2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел матрицы квадратичной формы
Сообщение13.10.2019, 18:38 
Заслуженный участник


29/12/14
504

(Оффтоп)

Не совсем уверен, что название правильное, ну да не суть...


Здравствуйте, в очередной раз появились математический проблемы в ходе работы над одной физической задачей.

Пусть $f(t,t')$ -- некоторая "хорошая" эрмитова функция, то есть $f(t,t') = f^{*}(-t,-t')$, а $f(\omega,\omega')$ -- её Фурье-образ:
$$f(\omega,\omega') = \int_{t,t'} e^{i \omega t + i\omega' t'}f(t,t').$$
Нужно вычислить
$$A(\omega,\omega') = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \frac{(\omega - \omega')(\omega + \omega' + 2i\varepsilon)f(-\omega,-\omega')}{(\omega - \omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon)(\omega + \omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon)(\omega' - \omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon)(\omega' + \omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon)}.$$
Понимать это нужно, в смысле
$$\int_{\omega,\omega'} g(\omega) A(\omega,\omega') g(\omega'),$$
где $g$ -- достаточно быстро убывающая на $|z| \to \infty$ и не имеющая особенностей функция. Иными словами, вычисляя интеграл, контур можно спокойно закрывать окружностью с бесконечным радиусом.


Замечу, что если $f(\omega,\omega') \sim \delta(\omega + \omega'),$ то всё хорошо: легко получить ядро Пуассона, так что в итоге будет что-то вроде $f/(2 \omega_{\mathbf{p}}),$ умноженноя на линейную комбинацию двух дельта-функций. Я вот надеялся на нечто подобное и в общем случае. Но у меня получается какая-то фигня:
$$
\begin{align*}
&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \frac{(\omega - \omega')(\omega + \omega' + 2i\varepsilon)f(-\omega,-\omega')}{(\omega - \omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon)(\omega + \omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon)(\omega' - \omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon)(\omega' + \omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon)}\nonumber\\
=
&\lim_{\varepsilon \to 0^{+}}
\frac{(\omega - \omega')(\omega + \omega' + 2i\varepsilon)f(-\omega,-\omega')}{4 \omega_{\mathbf{p}}^2} \left(\frac{1}{\omega - \omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon} - \frac{1}{\omega + \omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon} \right)\left(\frac{1}{\omega' - \omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon} - \frac{1}{\omega' + \omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon} \right)\nonumber\\
=
&-\frac{i}{\omega_{\mathbf{p}}^2} \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \bigg[
\varepsilon(\omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon)  f(-\omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon,-\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon)
+ 
\varepsilon(\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon) f(-\omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon,\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon)\nonumber\\
&\phantom{\frac{1}{4 \omega_{\mathbf{p}}^2} \lim_{\varepsilon \to 0^{+}}}
-\varepsilon (\omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon) f(\omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon,-\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon) 
-
\varepsilon (\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon) f(\omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon,\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon) \bigg]
\end{align*}
$$
Что делать дальше? Пока что выглядит так, словно должен получиться ноль. Может, из эрмитовости $f(t,t')$ следует нечто большее, что можно было бы использовать, чтоб продвинуться дальше, чем просто действительность Фурье-образа? Или, может, я до этого уже какую-то чушь сделал?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group