Предел матрицы квадратичной формы

[Gickle]

(Оффтоп)

Не совсем уверен, что название правильное, ну да не суть...

Здравствуйте, в очередной раз появились математический проблемы в ходе работы над одной физической задачей.

Пусть $f(t,t')$ -- некоторая "хорошая" эрмитова функция, то есть $f(t,t') = f^{*}(-t,-t')$, а $f(\omega,\omega')$ -- её Фурье-образ:

$$f(\omega,\omega') = \int_{t,t'} e^{i \omega t + i\omega' t'}f(t,t').$$

Нужно вычислить

$$A(\omega,\omega') = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \frac{(\omega - \omega')(\omega + \omega' + 2i\varepsilon)f(-\omega,-\omega')}{(\omega - \omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon)(\omega + \omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon)(\omega' - \omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon)(\omega' + \omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon)}.$$

Понимать это нужно, в смысле

$$\int_{\omega,\omega'} g(\omega) A(\omega,\omega') g(\omega'),$$

где $g$ -- достаточно быстро убывающая на $|z| \to \infty$ и не имеющая особенностей функция. Иными словами, вычисляя интеграл, контур можно спокойно закрывать окружностью с бесконечным радиусом.


Замечу, что если $f(\omega,\omega') \sim \delta(\omega + \omega'),$ то всё хорошо: легко получить ядро Пуассона, так что в итоге будет что-то вроде $f/(2 \omega_{\mathbf{p}}),$ умноженноя на линейную комбинацию двух дельта-функций. Я вот надеялся на нечто подобное и в общем случае. Но у меня получается какая-то фигня:

$$ \begin{align*} &\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \frac{(\omega - \omega')(\omega + \omega' + 2i\varepsilon)f(-\omega,-\omega')}{(\omega - \omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon)(\omega + \omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon)(\omega' - \omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon)(\omega' + \omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon)}\nonumber\\ = &\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \frac{(\omega - \omega')(\omega + \omega' + 2i\varepsilon)f(-\omega,-\omega')}{4 \omega_{\mathbf{p}}^2} \left(\frac{1}{\omega - \omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon} - \frac{1}{\omega + \omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon} \right)\left(\frac{1}{\omega' - \omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon} - \frac{1}{\omega' + \omega_{\mathbf{p}} - i\varepsilon} \right)\nonumber\\ = &-\frac{i}{\omega_{\mathbf{p}}^2} \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \bigg[ \varepsilon(\omega_{\mathbf{p}} + i\varepsilon) f(-\omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon,-\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon) + \varepsilon(\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon) f(-\omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon,\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon)\nonumber\\ &\phantom{\frac{1}{4 \omega_{\mathbf{p}}^2} \lim_{\varepsilon \to 0^{+}}} -\varepsilon (\omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon) f(\omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon,-\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon) - \varepsilon (\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon) f(\omega_{\mathbf{p}} + i \varepsilon,\omega_{\mathbf{p}} - i \varepsilon) \bigg] \end{align*} $$

Что делать дальше? Пока что выглядит так, словно должен получиться ноль. Может, из эрмитовости $f(t,t')$ следует нечто большее, что можно было бы использовать, чтоб продвинуться дальше, чем просто действительность Фурье-образа? Или, может, я до этого уже какую-то чушь сделал?