2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение12.10.2019, 15:02 
Аватара пользователя


11/10/19
101
Приветствую.
Как известно уравнение Кеплера имеет вид:
$E - e\cdot \sin E = M$ (1)

Где $M$ - средняя аномалия,
$E$ - эксцентрическая аномалия,
$e$ - эксцентриситет.

Оно является трансцендентным, т.е. его нельзя решить в алгебраических функциях. Но что если это справедливо, если рассматривать только данное уравнение. По факту мы можем использовать и другие уравнения.
В данном случае у нас есть ещё и уравнение для связи модуля радиус вектора из фокуса к телу с эксцентрической аномалией:

$r = a(1 - e\cdot\cos E)$ (2)
$a$ - большая полуось.

Теперь проинтегрируем (1) по $E$:
$\frac{E^2}{2} + e\cdot \cos E = M\cdot E + c_1$ (3)

Подставив в (2) высоту перицентра (далее $r_0$), найдем в нем значение $E(r_0) = E_0$
Значение средней аномалии в перицентре равно нолю, т.к. интервал времени от него равен 0.

$\cos E_0 = \frac{a-r_0}{a\cdot e}$ (4)
$E_0 = \pm\arccos(\frac{a-r_0}{a\cdot e})$ (5)

Таким образом:

$c_1 = \frac{a\cdot\arccos(\frac{a-r_0}{a\cdot e})^2+2(a-r_0)}{2a}$ (6)

Далее подставляем (6) в (3), переносим всё, кроме $e\cdot \cos E$ в правую часть и возводим в квадрат:

$e^2\cdot \cos^2(E) = (M\cdot E + \frac{a\cdot\arccos(\frac{a-r_0}{a\cdot e})^2+2(a-r_0)}{2a} - \frac{E^2}{2})^2$ (7)

Далее используем основное тригонометрическое тождество и преобразуем (7):

$\sin^2(E) = \frac{e^2 - (M\cdot E + \frac{a\cdot\arccos(\frac{a-r_0}{a\cdot e})^2+2(a-r_0)}{2a} - \frac{E^2}{2})^2}{e^2}$ (8)

Перенеся в (1) синус в право, а всё остальное влево и возведя в квадрат, получим:

$\sin^2(E) = (\frac{E-M}{e})^2$ (9)

Совместно решая (8) и (9) получим уравнение:

$(\frac{E-M}{e})^2 = \frac{e^2 - (M\cdot E + \frac{a\cdot\arccos(\frac{a-r_0}{a\cdot e})^2+2(a-r_0)}{2a} - \frac{E^2}{2})^2}{e^2}$

Вот его решения:

$E_1 \approx 0.50000\cdot (2\cdot M-2\cdot\sqrt{-2\cdot\sqrt{-2\cdot c_1-M^2+8.3891}+2\cdot c_1+M^2-2})$

$E_2 \approx 0.50000\cdot(2\cdot\sqrt{-2\cdot\sqrt{-2\cdot c_1-M^2+8.3891}+2\cdot c+M^2-2}+2\cdot M)$

$E_3 \approx 0.50000\cdot(2\cdot M-2\cdot\sqrt{2\cdot\sqrt{-2\cdot c_1-M^2+8.3891}+2\cdot c_1+M^2-2})$

$E_4 \approx 0.50000\cdot(2\cdot\sqrt{2\cdot\sqrt{-2\cdot c_1-M^2+8.3891}+2\cdot c+M^2-2}+2\cdot M)$

По моим предположениям три решения должны быть мнимыми, а одно действительное. Пожалуйста, помогите разобраться, правильно ли я рассуждаю, и есть ли здесь ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение12.10.2019, 15:18 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Euler-Maskerony в сообщении #1420361 писал(а):
Как известно уравнение Кеплера имеет вид:
$E + e\cdot \sin E = M$ (1)
Вообще-то уравнение Кеплера имеет вид $E - e\cdot \sin E = M$.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение12.10.2019, 15:19 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- вместо картинок вставьте нормально набранные формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение12.10.2019, 17:35 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»


-- 12.10.2019, 17:41 --

Euler-Maskerony в сообщении #1420361 писал(а):
Теперь проинтегрируем (1) по $E$:
$\frac{E^2}{2} + e\cdot \cos E = M\cdot E + c_1$ (3)
Средняя аномалия - это не константа, а функция (в частности, функция эксцентрической аномалии). Как следствие, сие деяние напрочь лишено смысла (и дальнейшие выкладки, как следствие, тоже).

Для наглядности... вы пытаетесь рассуждать примерно так: пусть $y=x^2$, "проинтегрировав" это, получим $y \cdot x = \frac{x^3}{3} + c$; $c=0$ (так как при $x=0$ и $y=0$), поэтому $y = \frac{x^2}{3}$. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Posted automatically
Сообщение12.10.2019, 17:48 
Аватара пользователя


11/10/19
101
Pphantom в сообщении #1420384 писал(а):
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»


-- 12.10.2019, 17:41 --

Euler-Maskerony в сообщении #1420361 писал(а):
Теперь проинтегрируем (1) по $E$:
$\frac{E^2}{2} + e\cdot \cos E = M\cdot E + c_1$ (3)
Средняя аномалия - это не константа, а функция (в частности, функция эксцентрической аномалии). Как следствие, сие деяние напрочь лишено смысла (и дальнейшие выкладки, как следствие, тоже).

Для наглядности... вы пытаетесь рассуждать примерно так: пусть $y=x^2$, "проинтегрировав" это, получим $y \cdot x = \frac{x^3}{3} + c$; $c=0$ (так как при $x=0$ и $y=0$), поэтому $y = \frac{x^2}{3}$. :mrgreen:


Упс. Извините. Наверное неточно обозначил тему. Целью этого было нахождение зависимости эксцентрической аномалии от средней аномалии (вообще нужно от времени).

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение12.10.2019, 17:57 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Euler-Maskerony в сообщении #1420387 писал(а):
Упс. Извините. Наверное неточно обозначил тему.
Да нет, все точно, просто делаете вы нечто неправильное. :-)

P.S. Цитирование сообщений полностью - это тоже неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение12.10.2019, 18:16 
Аватара пользователя


11/10/19
101
Pphantom в сообщении #1420392 писал(а):
Да нет, все точно, просто делаете вы нечто неправильное. :-)

Почему неправильно? Средняя аномалия - это функция от времени. Поэтому в данной ситуации я могу принять её за константу и спокойно интегрировать. Константу интегрирования я нахожу через начальные условия. Уравнение имеет две переменные величины, поэтому для нахождения константы нужно подставить в него среднюю аномалию в момент времени, когда тело находится в перицентре ($t=0\Rightarrow M=0$ по определению средней аномалии), и значение эксцентрической аномалии в перицентре, которое находится по известной формуле. Это я и сделал. Если это не так, то почему? Я не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение12.10.2019, 18:23 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Euler-Maskerony в сообщении #1420393 писал(а):
Почему неправильно?
Я выше привел пример аналогичного рассуждения, только рафинированный. В нем вы ошибку найти можете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение12.10.2019, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Euler-Maskerony в сообщении #1420393 писал(а):
Почему неправильно? Средняя аномалия - это функция от времени. Поэтому в данной ситуации я могу принять её за константу и спокойно интегрировать.
Нет. Если Вы ищете $E$ как функцию $M$, и при этом интегрируете по $E$, то $M$ нельзя принять за константу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение12.10.2019, 18:34 
Аватара пользователя


11/10/19
101
Pphantom в сообщении #1420394 писал(а):
В нем вы ошибку найти можете?

Да, y - это функция от x, поэтому так делать нельзя. Вы хотите сказать, что в данном случае $M$ обязательно функция от $E$? По определению же её можно представить, как $M(t)=\frac{2\pi t}{T}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение12.10.2019, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Но $E$ же тоже зависит от $t$. Рассмотрите тот же пример, но теперь пусть $x$ и $y$ - это функции от $t$. $x = t^2$, $y = t^4$.
$y = x^2$ верно, а $y^2/2 = x^2y + c$ неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение12.10.2019, 18:55 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Euler-Maskerony в сообщении #1420396 писал(а):
Вы хотите сказать, что в данном случае $M$ обязательно функция от $E$? По определению же её можно представить, как $M(t)=\frac{2\pi t}{T}$.
Да. Но поскольку $E$ тоже функция от $t$, то и $M$ является функцией от $E$.

Забавно, что последнее утверждение - тривиальное даже не следствие, а просто утверждение уравнения Кеплера. Возможно, если переставить в нем правую и левую часть местами и переписать его как $M = E - e \,\sin E$, это станет более очевидным. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение12.10.2019, 19:10 
Аватара пользователя


11/10/19
101
Pphantom в сообщении #1420398 писал(а):
Да. Но поскольку $E$ тоже функция от $t$, то и $M$ является функцией от $E$.

Xaositect в сообщении #1420397 писал(а):
Но $E$ же тоже зависит от $t$. Рассмотрите тот же пример, но теперь пусть $x$ и $y$ - это функции от $t$. $x = t^2$, $y = t^4$.
$y = x^2$ верно, а $y^2/2 = x^2y + c$ неверно.


Понял, спасибо большое. А есть ли вообще возможность без этого уравнения найти зависимость длины радиус вектора из фокуса на тело от времени?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение12.10.2019, 19:14 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Euler-Maskerony в сообщении #1420400 писал(а):
А есть ли вообще возможность без этого уравнения найти зависимость длины радиус вектора из фокуса на тело от времени?
Аналитически - нет, все подобные попытки так или иначе сведутся к тому же уравнению Кеплера. Численно - можно (например, проинтегрировав уравнения движения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка решения Уравнения Кеплера
Сообщение13.10.2019, 01:56 
Заблокирован


16/04/18

1129
Насколько я помню это уравнение решено явно, решение в виде ряда по функциям Бесселя. Кажется, даже в учебнике Фихтенгольца есть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DimaM


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group