Попытка решения Уравнения Кеплера

[Euler-Maskerony]

Приветствую.
Как известно уравнение Кеплера имеет вид:
$E - e\cdot \sin E = M$ (1)

Где $M$ - средняя аномалия,
$E$ - эксцентрическая аномалия,
$e$ - эксцентриситет.

Оно является трансцендентным, т.е. его нельзя решить в алгебраических функциях. Но что если это справедливо, если рассматривать только данное уравнение. По факту мы можем использовать и другие уравнения.
В данном случае у нас есть ещё и уравнение для связи модуля радиус вектора из фокуса к телу с эксцентрической аномалией:

$r = a(1 - e\cdot\cos E)$ (2)
$a$ - большая полуось.

Теперь проинтегрируем (1) по $E$:
$\frac{E^2}{2} + e\cdot \cos E = M\cdot E + c_1$ (3)

Подставив в (2) высоту перицентра (далее $r_0$), найдем в нем значение $E(r_0) = E_0$
Значение средней аномалии в перицентре равно нолю, т.к. интервал времени от него равен 0.

$\cos E_0 = \frac{a-r_0}{a\cdot e}$ (4)
$E_0 = \pm\arccos(\frac{a-r_0}{a\cdot e})$ (5)

Таким образом:

$c_1 = \frac{a\cdot\arccos(\frac{a-r_0}{a\cdot e})^2+2(a-r_0)}{2a}$ (6)

Далее подставляем (6) в (3), переносим всё, кроме $e\cdot \cos E$ в правую часть и возводим в квадрат:

$e^2\cdot \cos^2(E) = (M\cdot E + \frac{a\cdot\arccos(\frac{a-r_0}{a\cdot e})^2+2(a-r_0)}{2a} - \frac{E^2}{2})^2$ (7)

Далее используем основное тригонометрическое тождество и преобразуем (7):

$\sin^2(E) = \frac{e^2 - (M\cdot E + \frac{a\cdot\arccos(\frac{a-r_0}{a\cdot e})^2+2(a-r_0)}{2a} - \frac{E^2}{2})^2}{e^2}$ (8)

Перенеся в (1) синус в право, а всё остальное влево и возведя в квадрат, получим:

$\sin^2(E) = (\frac{E-M}{e})^2$ (9)

Совместно решая (8) и (9) получим уравнение:

$(\frac{E-M}{e})^2 = \frac{e^2 - (M\cdot E + \frac{a\cdot\arccos(\frac{a-r_0}{a\cdot e})^2+2(a-r_0)}{2a} - \frac{E^2}{2})^2}{e^2}$

Вот его решения:

$E_1 \approx 0.50000\cdot (2\cdot M-2\cdot\sqrt{-2\cdot\sqrt{-2\cdot c_1-M^2+8.3891}+2\cdot c_1+M^2-2})$

$E_2 \approx 0.50000\cdot(2\cdot\sqrt{-2\cdot\sqrt{-2\cdot c_1-M^2+8.3891}+2\cdot c+M^2-2}+2\cdot M)$

$E_3 \approx 0.50000\cdot(2\cdot M-2\cdot\sqrt{2\cdot\sqrt{-2\cdot c_1-M^2+8.3891}+2\cdot c_1+M^2-2})$

$E_4 \approx 0.50000\cdot(2\cdot\sqrt{2\cdot\sqrt{-2\cdot c_1-M^2+8.3891}+2\cdot c+M^2-2}+2\cdot M)$

По моим предположениям три решения должны быть мнимыми, а одно действительное. Пожалуйста, помогите разобраться, правильно ли я рассуждаю, и есть ли здесь ошибки.

[Pphantom]

Euler-Maskerony в сообщении #1420361 писал(а):

Как известно уравнение Кеплера имеет вид:
$E + e\cdot \sin E = M$ (1)

Вообще-то уравнение Кеплера имеет вид $E - e\cdot \sin E = M$.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- вместо картинок вставьте нормально набранные формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 12.10.2019, 17:41 --

Euler-Maskerony в сообщении #1420361 писал(а):

Теперь проинтегрируем (1) по $E$:
$\frac{E^2}{2} + e\cdot \cos E = M\cdot E + c_1$ (3)

Средняя аномалия - это не константа, а функция (в частности, функция эксцентрической аномалии). Как следствие, сие деяние напрочь лишено смысла (и дальнейшие выкладки, как следствие, тоже).

Для наглядности... вы пытаетесь рассуждать примерно так: пусть $y=x^2$, "проинтегрировав" это, получим $y \cdot x = \frac{x^3}{3} + c$; $c=0$ (так как при $x=0$ и $y=0$), поэтому $y = \frac{x^2}{3}$.

[Euler-Maskerony]

Pphantom в сообщении #1420384 писал(а):

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 12.10.2019, 17:41 --

Euler-Maskerony в сообщении #1420361 писал(а):

Теперь проинтегрируем (1) по $E$:
$\frac{E^2}{2} + e\cdot \cos E = M\cdot E + c_1$ (3)

Средняя аномалия - это не константа, а функция (в частности, функция эксцентрической аномалии). Как следствие, сие деяние напрочь лишено смысла (и дальнейшие выкладки, как следствие, тоже).

Для наглядности... вы пытаетесь рассуждать примерно так: пусть $y=x^2$, "проинтегрировав" это, получим $y \cdot x = \frac{x^3}{3} + c$; $c=0$ (так как при $x=0$ и $y=0$), поэтому $y = \frac{x^2}{3}$.

Упс. Извините. Наверное неточно обозначил тему. Целью этого было нахождение зависимости эксцентрической аномалии от средней аномалии (вообще нужно от времени).

[Pphantom]

Euler-Maskerony в сообщении #1420387 писал(а):

Упс. Извините. Наверное неточно обозначил тему.

Да нет, все точно, просто делаете вы нечто неправильное.

P.S. Цитирование сообщений полностью - это тоже неправильно.

[Euler-Maskerony]

Pphantom в сообщении #1420392 писал(а):

Да нет, все точно, просто делаете вы нечто неправильное.

Почему неправильно? Средняя аномалия - это функция от времени. Поэтому в данной ситуации я могу принять её за константу и спокойно интегрировать. Константу интегрирования я нахожу через начальные условия. Уравнение имеет две переменные величины, поэтому для нахождения константы нужно подставить в него среднюю аномалию в момент времени, когда тело находится в перицентре ($t=0\Rightarrow M=0$ по определению средней аномалии), и значение эксцентрической аномалии в перицентре, которое находится по известной формуле. Это я и сделал. Если это не так, то почему? Я не понимаю.

[Pphantom]

Euler-Maskerony в сообщении #1420393 писал(а):

Почему неправильно?

Я выше привел пример аналогичного рассуждения, только рафинированный. В нем вы ошибку найти можете?

[Xaositect]

Euler-Maskerony в сообщении #1420393 писал(а):

Почему неправильно? Средняя аномалия - это функция от времени. Поэтому в данной ситуации я могу принять её за константу и спокойно интегрировать.

Нет. Если Вы ищете $E$ как функцию $M$, и при этом интегрируете по $E$, то $M$ нельзя принять за константу.

[Euler-Maskerony]

Pphantom в сообщении #1420394 писал(а):

В нем вы ошибку найти можете?

Да, y - это функция от x, поэтому так делать нельзя. Вы хотите сказать, что в данном случае $M$ обязательно функция от $E$? По определению же её можно представить, как $M(t)=\frac{2\pi t}{T}$.

[Xaositect]

Но $E$ же тоже зависит от $t$. Рассмотрите тот же пример, но теперь пусть $x$ и $y$ - это функции от $t$. $x = t^2$, $y = t^4$.
$y = x^2$ верно, а $y^2/2 = x^2y + c$ неверно.

[Pphantom]

Euler-Maskerony в сообщении #1420396 писал(а):

Вы хотите сказать, что в данном случае $M$ обязательно функция от $E$? По определению же её можно представить, как $M(t)=\frac{2\pi t}{T}$.

Да. Но поскольку $E$ тоже функция от $t$, то и $M$ является функцией от $E$.

Забавно, что последнее утверждение - тривиальное даже не следствие, а просто утверждение уравнения Кеплера. Возможно, если переставить в нем правую и левую часть местами и переписать его как $M = E - e \,\sin E$, это станет более очевидным.

[Euler-Maskerony]

Pphantom в сообщении #1420398 писал(а):

Да. Но поскольку $E$ тоже функция от $t$, то и $M$ является функцией от $E$.

Xaositect в сообщении #1420397 писал(а):

Но $E$ же тоже зависит от $t$. Рассмотрите тот же пример, но теперь пусть $x$ и $y$ - это функции от $t$. $x = t^2$, $y = t^4$.
$y = x^2$ верно, а $y^2/2 = x^2y + c$ неверно.

Понял, спасибо большое. А есть ли вообще возможность без этого уравнения найти зависимость длины радиус вектора из фокуса на тело от времени?

[Pphantom]

Euler-Maskerony в сообщении #1420400 писал(а):

А есть ли вообще возможность без этого уравнения найти зависимость длины радиус вектора из фокуса на тело от времени?

Аналитически - нет, все подобные попытки так или иначе сведутся к тому же уравнению Кеплера. Численно - можно (например, проинтегрировав уравнения движения).

[novichok2018]

Насколько я помню это уравнение решено явно, решение в виде ряда по функциям Бесселя. Кажется, даже в учебнике Фихтенгольца есть.