Усреднение правых сдвигов в L_{2}

[demolishka]

В пространстве $L_{2}(-\tau,0)$ вещественнозначных квадратично-суммируемых на отрезке $[-\tau,0]$ функций рассмотрим $C_{0}$-полугруппу операторов правого сдвига $T(t) \colon L_{2}(-\tau,0) \to L_{2}(-\tau,0)$, т. е.

$$[T(t)\varphi](s):=\begin{cases} \varphi(s-t), \text{ при } -\tau \leq s-t \leq 0 \\ 0, \text{иначе}. \end{cases}$$

Пусть $f \colon [0,\tau] \to L_{2}(-\tau,0)$ - непрерывная функция. Всегда ли интеграл

$$\int_{0}^{\tau}T(t)f(t)dt$$

будет элементом пространства Соболева $W^{1,2}(-\tau,0)$, т. е. будет ли соответствующая функция иметь соболевскую производную из $L_{2}(-\tau,0)$?

Например, если $f$ непрерывно дифференцируема, то это так в силу того, что генератор полугруппы $T(t)$ есть неограниченный замкнутый оператор $A=-\frac{d}{ds}$, заданный на $D(A) = \{ \varphi \in W^{1,2}(-\tau,0) \ | \ \varphi(-\tau)=0\}$, и известных свойств неоднородных задач Коши для генераторов $C_{0}$-полугрупп.

[g______d]

demolishka в сообщении #1419717 писал(а):

Пусть $f \colon [0,\tau] \to L_{2}(-\tau,0)$ - непрерывная функция. Всегда ли интеграл

$$\int_{0}^{\tau}T(t)f(t)dt$$

Перепишите этот интеграл более явно. Например, используя интегралы от $f$ с переменным верхним пределом (про которые Вы, скорее всего, всё знаете).

[demolishka]

g______d, Вы имеете в виду

$$r(s)=\left(\int_{0}^{\tau}T(t)f(t)dt\right)(s) = \int_{0}^{\tau+s}f(t,s-t)dt=\int_{-\tau}^{s}f(s-t,t)dt.$$

? Я так делал, но я даже не понимал, почему можно написать второе равенство (т. е. подставлять $s$ внутрь интеграла). Пытался доказывать так: выделим подпоследовательность римановых сумм (которые сходятся в $L_{2}$ к $r$), сходящихся почти всюду к $r$. Но почему она также сходится ко второму интегралу? Даже если принять во внимание факт законности такого перехода, то я не вижу как из этой формулы будет следовать абсолютная непрерывность $r$ (достаточно ли абсолютной непрерывности? или производная абсолютно непрерывной функции, вообще говоря, лежит в $L_{1}$ и надо отдельно проверять принадлежность $L_{2}$?).

[g______d]

demolishka в сообщении #1419822 писал(а):

Вы имеете в виду

Нет, откуда там вообще функция двух переменных?

[demolishka]

g______d в сообщении #1419823 писал(а):

Нет, откуда там вообще функция двух переменных?

При каждом $t$ значение функции $f(t)$ лежит в $L_{2}(-\tau,0)$, т. е. является функцией от $s \in (-\tau,0)$ (поэтому я пишу функцию двух переменных $f(t,s)$). На это значение действует оператор $T(t)$. Функция $[0,\tau] \ni t \mapsto T(t)f(t) \in L_{2}(-\tau,0)$ непрерывна. Поэтому существует интеграл от этой $L_{2}(-\tau,0)$-значной функции

demolishka в сообщении #1419717 писал(а):

$$\int_{0}^{\tau}T(t)f(t)dt$$

Вопрос в том, будет ли этот интеграл (который есть элемент пространства $L_{2}(-\tau,0)$) лежать в соболевском пространстве $W^{1,2}(-\tau,0)$.

[g______d]

demolishka в сообщении #1419825 писал(а):

При каждом $t$ значение функции $f(t)$ лежит в $L_{2}(-\tau,0)$, т. е. является функцией от $s \in (-\tau,0)$

А, согласен, я плохо прочитал условие. Тогда мне надо немного подумать.

-- Вт, 08 окт 2019 10:38:46 --

Тогда мне кажется, что ответ "нет". Возьмите $f(t,s)=h(t+s)$, где $h$ -- какая-то функция из $L^2$ с маленьким носителем, типа $(-\tau/2-\varepsilon,-\tau/2+\varepsilon)$. Тогда после послойного применения $T(t)$, это будет какая-то функция из $L^2$ по переменной $s$ и константа по переменной $t$. Поэтому интегрирование по переменной $t$ никак её не "сгладит".

Возможно, этот пример нужно модифицировать, чтобы учесть краевые эффекты, но я не верю, что негладкость где-то сократится.

[demolishka]

g______d в сообщении #1419827 писал(а):

Тогда мне кажется, что ответ "нет".

Да, действительно. Большое спасибо.