IEEE754

[oleg.k]

Geen в сообщении #1419801 писал(а):

Ну да, определили на каком-то множестве пяток групповых операций...

5 групповых операций? Перечислите их пожалуйста, а то я не понимаю о чем Вы.

[ozheredov]

arseniiv в сообщении #1419787 писал(а):

решение блоуапится

Хмм... Вот это? Так вы получается разбираетесь в PDE, респект. (Я сам этот термин (solution blow-up) впервые слышу).

arseniiv в сообщении #1419787 писал(а):

Вот что получается если делать как попало

Цвет это амплитуда? Ну да, чего-то там наверное схлопывается из-за нелинейностей, PDE вообще страшно ядовитая штука). А так, в плане моделирования физической реальности все давным давно сделано в Китае ладно, в Нидерландах: )

Реальность по ту или по эту сторону дисплея?

-- 08.10.2019, 18:57 --

vpb в сообщении #1419794 писал(а):

Наоборот, компьютеры и программирование были придуманы прикладными математиками и физиками для того, чтоб решать ихние задачи.

Да, так было, или на тот момент казалось, что оно так. Сейчас скорее это очень узкие области применения компов. (В любом случае, тут чистейшее ИМХО)

[Geen]

oleg.k в сообщении #1419813 писал(а):

Geen в сообщении #1419801 писал(а):

Ну да, определили на каком-то множестве пяток групповых операций...

5 групповых операций? Перечислите их пожалуйста, а то я не понимаю о чем Вы.

$+_1,\ +_2,\ +_3,\dots,\times_1,\ \times_2,\dots$
Вы считаете, что кроме "сложения" и "умножения" ничего больше не бывает в принципе?
Или Вы можете без дистрибутивности доказать, например, что $-1\cdot a=-a$?

[arseniiv]

(PDE)

ozheredov в сообщении #1419814 писал(а):

Так вы получается разбираетесь в PDE, респект.

Не, совершенно не разбираюсь, но попытался написать численную модель уравнения Шрёдингера (которое, конечно, PDE), и получил вот это и чуть позже тут или где-то в другом месте узнал название, но по картинке видно, насколько оно прекрасно подходит (белый у меня обозначал ноль, а усиление цвета и почернение — увеличение значений по модулю).

ozheredov в сообщении #1419814 писал(а):

Цвет это амплитуда?

(А цвет обозначал аргумент («фазу»).)

-- Вт окт 08, 2019 22:33:21 --

oleg.k в сообщении #1419798 писал(а):

Интересно, а всегда ли дистрибутивность так необходима? Существуют ли какие-нибудь полезные структуры (где определено деление на нейтральный элемент по сложению), которые можно применять для решения задач, традиционно решаемых с помощью $\mathbb{R}$? Свет ведь клином на $\mathbb{R}$ не сошелся. Ближайший пример приношения в жертву - $\mathbb{C}$. Да, порядком пожертвовали. Но получили массу полезностей.

Есть два широкоизвестных расширения $\mathbb R$ — компактификаций как топологического пространства — одноточечной, когда добавляется $\infty$, «беззнаковая бесконечность», и двухточечной, добавлением $\pm\infty$. Первая портит порядок и по сути её уместно рассматривать как проективную прямую $\mathbb R\mathrm P^1$, на которой фиксирована аффинная карта (выделяющая, какие точки этой прямой сопоставить вещественным числам, а какая останется за $\infty$); в любом случае здесь удобнее говорить о проективных преобразованиях, чем пытаться это делать для $\mathbb R$ (ситуация ровно та же, что с комплексной сферой Римана $\mathbb C\mathrm P^1$). Вторая порядок любит и добавляет к нему наименьший и наибольший элементы, можно например теперь определить, что $\sup\varnothing = -\infty$, и это чуть упростит некоторые детали.

Обе компактификации могут упростить определение бесконечных пределов (каждая своих), потому что у нас теперь есть элементы, к которым последовательности с такими пределами сходятся совершенно обычным образом. Но обе они одинаково плохо дружат с алгебраической структурой. Мы можем естественно доопределить лишь часть вещей типа $x + (+\infty) = +\infty$, когда $x\ne -\infty$, но например $0\cdot\infty$ мы доопределить не можем ничем (в проективном пространстве нет умножения), $0\cdot(\pm\infty)$ одинаково бессмысленно (связи порядка с умножением ничего нам не дают по этому поводу, кроме разве что идеи положить то выражение равным внезапно снова нулю). И тут у нас есть какая-то польза от введённых элементов (ещё важно заметить, что мы не можем добавить их все три разом — получим нехаусдорфово пространство, что убьёт всю пользу), пользы же от обращения нуля самой по себе никакой нет.

Когда так хочется, чтобы было две операции $\vee,\wedge$ с нейтральными элементами, которые назовём 0 и 1, и чтобы у обоих из них были «более одинаковые права», можно посмотреть на ограниченные решётки (булева алгебра, и в частности двухэлементная булева алгебра, которую проходят на информатике в школе — очень хороший частный случай такой решётки), но там уже нет смысла в понятии обращения; там может быть дополнение (в булевой алгебре есть — $\neg$) с другими свойствами, но оно есть и у 0, и у 1 — они дополнения друг друга.

А у структур, подобных кольцам, смысла насильно вводить обратный для нуля очень мало, если вообще есть. И $\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R$ — все в натуральном своём виде кольца.

[arseniiv]

(И $\mathbb N$ — полукольцо, так что можно с полной уверенностью утверждать, что привычные нам виды чисел все наглухо связаны с к кольцеподобными алгебраическими структурами; многие обобщения чисел, типа кватернионов или такой эзотерики как surreal numbers, тоже кольца; очень полезное понятие алгебры (из линейной алгебры) — тоже кольцо, являющееся и линейным пространством.)

[oleg.k]

Geen в сообщении #1419818 писал(а):

$+_1,\ +_2,\ +_3,\dots,\times_1,\ \times_2,\dots$

Я Вас просто не так понял сначала. Ну да, будет у нас 5 групп.

Geen в сообщении #1419818 писал(а):

Вы считаете, что кроме "сложения" и "умножения" ничего больше не бывает в принципе?

Названия - просто удобное соглашение. Называть операции можно как угодно и я с этим не спорю. Но вообще да, в кольце есть только "сложение" и "умножение". А в группе только одна операция. Меня это и смутило. Группа - это же пара (множество, операция). Вот я и не понял сначала, о какой группе с пятью операциями идет речь Вобщем, не суть. Невнимательно прочитал.

arseniiv в сообщении #1419830 писал(а):

так что можно с полной уверенностью утверждать, что привычные нам виды чисел все наглухо связаны с к кольцеподобными алгебраическими структурами

Вот я именно про это и спрашивал. Неужели "до" колец нету никаких структур, которые подходили бы на роль чисел? Почему мы мыслим числа "кольцеподобными"?

-- 08.10.2019, 20:53 --

Я полагаю, что это связано с тем, что мы от чисел что-то хотим такое, что есть только у кольцеподобных структур. Но что конкретно? (Понятно, что ответ "хотим дистрибутивность" или "хотим кольцеподобность" меня не убедит )

[Geen]

oleg.k в сообщении #1419832 писал(а):

Ну да, будет у нас 5 групп.

Ну так это и получится если отбросить дистрибутивность.

-- 08.10.2019, 21:01 --

oleg.k в сообщении #1419832 писал(а):

Почему мы мыслим числа "кольцеподобными"?

Иначе не обязательно будет $-1\cdot a=-a$ и многое подобное, очень привычное.

[oleg.k]

Может быть хотим наличие 2-ух операций, а не одной как у группы? Если так, то с чем это связано? Ладно "сложение" тут понятно: идея "аддитивности". Держим в руках 2 стакана с водой и переливаем в третий пустой. Получили "сумму". Неважно из какого стакана начинать лить: правого или левого (коммутативность) Неважно, как лить: сначала из двух стаканов, а затем из третьего или сначала из первого, а затем из оставшихся двух (ассоциативность). Существует "пустой стакан" такой, что если в него перелить воду из другого стакана, то воды в нем станет столько же, сколько было в том стакане, из которого переливали (существование нейтрального элемента). Ну и антивода Идея образовывать общее из кусочков очень естественная. К аддитивности претензий нету.

А вот мультипликативность мне не понятна. В случае с натуральными числами умножение вообще не выглядит самостоятельной операцией. Просто сокращает длинную строчку слагаемых. В чем ее самостоятельность?

-- 08.10.2019, 21:32 --

Geen в сообщении #1419834 писал(а):

Иначе не обязательно будет $-1\cdot a=-a$ и многое подобное, очень привычное.

Вот тоже интересный момент. Понятно, что свойства операций берутся не с потолка, а продиктованы реальными явлениями. Тогда вопрос просто слегка переносится: почему столько реальных явлений ведут себя так, что если что-то (которое в сумме с чем-то (нейтральным по умножению) дает ничто) умножить на сущность, то получится другая сущность, которая в сумме с первой сущностью даст ничто

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1419832 писал(а):

Вот я именно про это и спрашивал. Неужели "до" колец нету никаких структур, которые подходили бы на роль чисел?

Тут будет отдельный вопрос, что звать числами. В нулевом приближении ответ на него — то, что исторически сложилось, и в первом — то, что достаточно просто получается из $\mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q$.

Что же касается «до колец» — как я выше написал, уже $\mathbb N$ — полукольцо, и $\mathbb Z$ и дальше — кольца и часто поля (из «классических чисел» — все остальные). $\mathbb N$ — полукольцо совершенно естественным образом, и вообще смысл слов сложение, умножение, ноль, единица в конечном счёте идёт с него.

Далее, многие из процедур, которые применяются, чтобы получить другие «числа», обычно переводят (полу)кольцо в (полу)кольцо, так что тут мы просто так от них не убежим. Когда процедура не связанная с алгеброй (как компактификации $\mathbb R$ или например кстати $\mathbb N$), тут мы можем получить всякое алгебраически нехорошее, и почти закономерно получаем (бросающиеся в глаза исключения — получение из $\mathbb Q$ тоже полей(!) $\mathbb R$ и $\mathbb Q_p$; последние — $p$-адические числа).
___________

oleg.k в сообщении #1419841 писал(а):

Если так, то с чем это связано?

С разными вещами. (Полу)кольцо получается из (полу)группы, когда мы хотим в каком-то смысле интернализовать эндоморфизмы этой (полу)группы, отобразить их в элементы, а их действие — в операцию. Ровно так получаются полукольцо и кольцо $\mathbb N, \mathbb Z$ из соответствующих полугруппы и группы. (Эндоморфизм полугруппы $(M, {*})$ — это функция $f\colon M\to M$ со свойством $f(a * b) = f(a) * f(b)$.)

А если взять решётку, она по каждой из своих операций полурешётка, и вообще решётки часто возникают из частичного порядка (если существует $\sup\{a,b\}$ для любой пары, вводим операцию $a\vee b$, равную ему, и аналогично с $\inf, \wedge$). Решётки никогда не пытались звать числами, а когда они ограничены — т. е. существуют нейтральные элементы по $\wedge, \vee$, или равнозначно, наибольший и наименьший элемент относительно соответствующего частичного порядка, то их лишь исторически иногда обозначают 0 и 1 (видимо из-за двухэлементной булевой алгебры, традиционно отождествляемой с $\mathbb Z_2$). Ограниченная дистрибутивная решётка (в том числе те же булевы алгебры) заодно будет являться и полукольцом, но двумя способами — смотря как назначить операциям роли «сложения» и «умножения».

И может ещё было семейство структур с двумя бинарными операциями, не являющихся ни полукольцами, ни решётками, но я не помню сейчас.

oleg.k в сообщении #1419841 писал(а):

А вот мультипликативность мне не понятна. В случае с натуральными числами умножение вообще не выглядит самостоятельной операцией. Просто сокращает длинную строчку слагаемых. В чем ее самостоятельность?

Ну тут как, чем больше операция «самостоятельная», тем меньше она связана с остальными, и нет смысла их рассматривать вместе. И «сокращает длинную строчку слагаемых» длится ровно до того как мы придём к $\mathbb R$, где есть аддитивные функции, не являющиеся линейными, то есть у $(\mathbb R,+)$ куда больше эндоморфизмов, чем элементов в $\mathbb R$. К счастью, если группу $(\mathbb R,+)$ рассматривать как топологическую, всё окажется хорошо — все те лишние эндоморфизмы разрывны. Аналогично можно сделать даже с комплексными числами, если брать $(\mathbb C,+)$ вместе со структурой евклидовой плоскости, в которой, однако, нам не важны длины, а только углы и линейность, но там уж больно наворочено выходит, чтобы так имело смысл делать, и лучше их получать как алгебру над $\mathbb R$.

[Someone]

oleg.k в сообщении #1419841 писал(а):

В случае с натуральными числами умножение вообще не выглядит самостоятельной операцией. Просто сокращает длинную строчку слагаемых. В чем ее самостоятельность?

Вам только кажется, что не самостоятельная.
Есть две формальные арифметики первого порядка: арифметика Пресбургера, в которой есть только сложение, и арифметика Пеано, в которой есть и сложение, и умножение. Так вот в арифметике Пресбургера определить умножение невозможно.

[Munin]

oleg.k в сообщении #1419832 писал(а):

Неужели "до" колец нету никаких структур, которые подходили бы на роль чисел?

В каком-то смысле модули.

[Legioner93]

ozheredov в сообщении #1419774 писал(а):

С моей т.зрения, программирование -- естественный (и единственный) работодатель математики, и последняя должна подстраиваться под его нужды и парадигмы.

UPD: еще есть физика, но физика сейчас это на 99.99999% моделирование, а моделирование это...

Вам не стыдно гнать такую пургу? Вы, очевидно, не физик, и тем более не физик-модельер, но своё веское имеете. Физика это триада теории, численного эксперимента и эксперимента в натуре. Нет тут вовсе никаких процентов.

Далее, численные модели под IEEE754 никто не подстраивает. Бывает (редко), что подстраивают под конкретную архитектуру, чтобы улучшить возможности распараллеливания или увеличить утилизацию FPU или локальность (кэшируемость).

-- Ср окт 09, 2019 00:24:46 --

Перспективная альтернатива IEEE754 это позиты

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Unum_(number_format)#Posit

[Munin]

Legioner93 в сообщении #1419861 писал(а):

Перспективная альтернатива IEEE754 это позиты

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Unum_(number_format)#Posit

Охосподи, вот бред! Имплементировать в железе это кто будет, Пушкин? Ни малейшего понимания, что такое FP, и зачем они нужны и используются. (Критика в одном пункте тоже мимо, ну да ладно.)

IEEE754 - стандарт, появившийся после более 30 лет вычислений с плавающей запятой. Он вобрал в себя огромный опыт архитектур, их использования, и численных методов. Это надо понимать. Он лучше всех других форматов FP, бывших до него или параллельно ему. Притом он успешно остаётся современным и гибким для развития.

Единственные его недостатки - это несовременная идеология исключений (в каком-то смысле; сегодня исключения имеет смысл отдавать на откуп языку и его специфике), и может быть, неготовность к кэшу и SIMD, впрочем, вроде бы, тут проблем нет.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1419869 писал(а):

Охосподи, вот бред! Имплементировать в железе это кто будет, Пушкин?

Ну почему, есть проекты. Когда-нибудь через десятилетия оно могло бы в результате и взлететь. Не уверен, что IEEE 754 продержится столетия. (Хотя могут просто увеличить разрядность и забить вопросы тонкой оптимизации мощностями. И числа больших разрядностей этот стандарт разумно заранее описывает.)

[Munin]

arseniiv в сообщении #1419874 писал(а):

Хотя могут просто увеличить разрядность и забить вопросы тонкой оптимизации мощностями.

Какой тонкой оптимизации?