Сумма и пересечение подпространств

[Dedekind]

Добрый день! Помогите, пожалуйста, с задачей из Акивис, Гольдберг "Тензорное исчисление", Глава 1, параграф 3.

Условие. Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств $L'$ и $L''$ пространства $L$ на единицу больше размерности их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение - с другим.

Попытка решения. Запишем условие:

\[ \dim(L'+L'') - \dim(L'\cap L'') = 1 \]

Используем известную формулу для размерности подпространств:

\[ \dim(L'+L'') + \dim(L'\cap L'') = \dim(L') + \dim(L'') \]

Выразим размерности суммы и пересечения подпространств через размерности подпространств (вначале сложив первое и второе уравнение, а затем подставив выражение для суммы в первое):

\[ \dim(L'+L'') = \frac12 (\dim(L') + \dim(L'') + 1) \]

\[ \dim(L'\cap L'') = \frac12 (\dim(L') + \dim(L'') - 1) \]

А дальше непонятно. Следуя логике (и указаниям в ответах) нужно доказать, что, например, размерность суммы равна размерности одного из пространств, тогда можно сказать, что пространства совпадают. Но я в упор из этой формулы не вижу, как это можно сделать.

Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так?

[nnosipov]

Munin в сообщении #1419565 писал(а):

Я думаю, исходное утверждение неверно.

По-моему, с исходным утверждением все в порядке. Немного теории чисел, и все становится очевидным. ТС почти все сделал.

-- Пн окт 07, 2019 21:49:40 --

Munin в сообщении #1419565 писал(а):

Например, в него вполне подходит ...

Как Вы относитесь к подпространствам дробной размерности?

[Lia]

Ерунду удалила.

[adfg]

Dedekind писал(а):

Помогите, пожалуйста, Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так?

Вы сильно усложняете и много лишнего уже написали. Проще понять, что сумма состоит из общего пересечения плюс пара штук дополнений до исходных множеств, суммарная размерность которых по условию равна 1, из чего тут же мгновенно и следует результат

[Dedekind]

adfg в сообщении #1419665 писал(а):

Проще понять, что сумма состоит из общего пересечения плюс пара штук дополнений до исходных множеств, суммарная размерность которых по условию равна 1, из чего тут же мгновенно и следует результат

Да, спасибо, так действительно понятнее.

nnosipov в сообщении #1419582 писал(а):

По-моему, с исходным утверждением все в порядке. Немного теории чисел, и все становится очевидным. ТС почти все сделал.

Но если все-таки решать исходным способом, что именно из теории чисел имеется в виду? Я как-то туплю сильно. Додумался только до того, что размерности пространств должны быть разной четности (чтобы избежать дробной размерности), но что это дает?

[Утундрий]

Dedekind в сообщении #1419670 писал(а):

Додумался только до того, что размерности пространств должны быть разной четности (чтобы избежать дробной размерности), но что это дает?

Не туда думаете. Рассмотрите разность размерностей подпространств. Какой она может быть?

[Dedekind]

Утундрий в сообщении #1419680 писал(а):

Рассмотрите разность размерностей подпространств. Какой она может быть?

Во-первых, опять же, нечетной. И, насколько я понимаю, она равна разности размерности дополнений пересечения подпространств до каждого подпространства.

[nnosipov]

Dedekind в сообщении #1419670 писал(а):

Но если все-таки решать исходным способом, что именно из теории чисел имеется в виду? Я как-то туплю сильно. Додумался только до того, что размерности пространств должны быть разной четности (чтобы избежать дробной размерности), но что это дает?

Вот что: можно считать, например, что $\dim{L'}<\dim{L''}$ (равенство невозможно из-за разной чётности). Тогда

$$ \frac{1}{2}(\dim{L'} + \dim{L''}-1)=\dim{(L'\cap L'')} \leqslant \dim{L'}, $$

откуда $\dim{L'} \geqslant \dim{L''}-1$. Значит, $\dim{L'}=\dim{L''}-1$ и, таким образом, $\dim{(L'\cap L'')}=\dim{L'}$.

Рассуждение про четность --- это и есть теория чисел. Разумеется, проговорив еще раз доказательство формулы, связывающей размерности всех упомянутых подпространств, можно получить более естественное решение исходной задачи.

[Dedekind]

Да, теперь это кажется почти очевидным :)
adfg, nnosipov, Утундрий, большое спасибо за помощь!