Характеристические корни "циклической" матрицы

[Unmensch]

Всем добрый день!

В учебника Кострикина ("Введение в алгебру, часть II) есть следующее упражнение:

Цитата:

Найти характеристические корни "циклической" матрицы

$A = \begin{pmatrix} a_{0}& a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{0}& a_{1}\\ a_{1}& a_{2}& a_{0} \end{pmatrix}$,

используя легко проверяемое соотношение

$A = a_{0}E + a_{1}B + a_{2}B^2, B = \begin{pmatrix} 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0 \end{pmatrix}$

Конечно, характеристический корень $\lambda$ можно найти из уравнения $\det(A - \lambda\cdot E)=0$, то есть $(a_{0}-\lambda)^3 - 3a_{1}a_{2}(a_{0}-\lambda)-a_{1}^3-a_{2}^3=0$

В принципе можно решить с помощью формулы Кардано, но учитывая, что числа не даны, то будем слишком громоздко.

В то же время неясно, как использовать подсказку в виде выше приведенного соотношения для A. Может ли кто-нибудь подсказать, что именно имелось в виду?

Также в конце учебника приведено еще одно указание, что нужно матрицу B привести к диагональному виду. Но у B это можно сделать, получается, лишь в поле комплексных чисел (если я правильно понял критерий диагонализируемости матрицы). Но даже если это и сделать, то как это поможет решить задачу?

[DeBill]

Unmensch в сообщении #1419540 писал(а):

В принципе можно

угадать один собственный вектор (из одних единичек), и найти соответствующее с.зн., а дале решать уже квадратное уравнение. Но это все равно будет громоздко, и лучше использовать вторую подсказку: приведя $B$ к диагональному виду (пусть и комплексному) Вы одновременно приведете к диаг. виду и $A$...

[Unmensch]

DeBill в сообщении #1419548 писал(а):

лучше использовать вторую подсказку: приведя $B$ к диагональному виду (пусть и комплексному) Вы одновременно приведете к диаг. виду и $A$...

Наконец-то разобрался! Спасибо большое за помощь! :)

[iou]

Unmensch в сообщении #1419540 писал(а):

В то же время неясно, как использовать подсказку в виде выше приведенного соотношения для A. Может ли кто-нибудь подсказать, что именно имелось в виду?

В подсказке дано равенство двух операторов. Предлагается применить его к собственному вектору циклической матрицы и вытащить из этого равенства возможные собственные числа.