Две полусферы

[StaticZero]

Как решить задачу прямым интегрированием?

Цитата:

Сфера образована двумя полусферами из диэлектрика, каждая из которых
несёт равномерно распределённые заряды $q_1,q_2$ соответственно.
Найти силу их взаимодействия, если радиус равен $R$.

$$ \begin{tikzpicture} \coordinate (O) at (0, 0); \draw [blue, thick] (0:2) arc (0: 180: 2); \draw [red, thick] (0:2) arc (0: -180: 2); \coordinate (x1) at (110:2); \coordinate (x2) at (190:2); \coordinate (pole1) at (90:2); \coordinate (pole2) at (270:2); \draw (x2) -- (O); \draw (x1) -- (O); \draw (pole1)--(pole2); \fill [red] (x2) circle (1mm); \fill [blue] (x1) circle (1mm); \draw [thick] (x1) -- (x2) node [pos=0.5, right] {$r_{12}$}; \coordinate (p) at (intersection of pole1--pole2 and x1--x2); \draw (pole1)--(p); \draw (x1)--(p); \draw (90:0.8) arc (90:110:0.8) node at (100:1.1) {$\theta_1$}; \draw (270:0.8) arc (270:190:0.8) node at (230:1.1) {$\theta_2$}; \draw (p)++(270:0.5) arc (270:240:0.5) node [below] {$\phi$}; \node (kek) at (170:0.8) {$\scriptstyle \pi - \theta_1 - \theta_2$}; \end{tikzpicture} $$

$$ \begin{align*} F_\parallel &= \int \limits_{S_1} \mathrm dq_1 \int \limits_{S_2} \frac{\mathrm dq_2}{r_{12}^2} \cos \phi = \sigma_1 \sigma_2 \times (2 \pi R^2)^2 \int \limits_{0}^{\pi/2} \sin \theta_1 \ \mathrm d\theta_1 \int \limits_{0}^{\pi/2} \frac{\cos \phi \sin \theta_2 \ \mathrm d \theta_2}{2 R^2 (1 + \cos (\theta_1 + \theta_2))} = \\ &= \pi^2 R^2 \sigma_1 \sigma_2 \int \limits_{0}^{\pi/2} \mathrm d \theta_1 \int \limits_{0}^{\pi/2} \frac{\cos \left( \frac{\theta_2 - \theta_1}{2}\right) \sin \theta_1 \sin \theta_2 \ \mathrm d \theta_2}{\cos^2 \left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}\right)} \end{align} $$

Замена переменных $x = \frac{\theta_1 + \theta_2}{2}$, $y = \frac{\theta_2 - \theta_1}{2}$, $J = 1/2$,

$$ \begin{align} (*) &= \frac{\pi^2}{2} R^2 \sigma_1 \sigma_2 \int \limits_{0}^{\pi/2} \mathrm dx \int \limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos y \sin (x+y) \sin (x - y) \ \mathrm dy}{\cos^2 x} = \\ &= \pi^2 R^2 \sigma_1 \sigma_2 \int \limits_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm dx}{\cos^2 x} \int \limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \mathrm dy \ \cos y (\cos^2 y - \cos^2 x) = \infty \end{align} $$

Получается, что интеграл силы расходится и виноваты в этом экваториальные полоски полусфер, которые формально находятся на нулевом расстоянии друг от друга. Ну или же я опять где-то глупо ошибся, но не могу найти, где.

[Pphantom]

StaticZero в сообщении #1419359 писал(а):

Получается, что интеграл силы расходится и виноваты в этом экваториальные полоски полусфер, которые формально находятся на нулевом расстоянии друг от друга.

С физической точки зрения это означает, что равномерно заряженная сфера должна немедленно разлетаться на куски, поскольку любые две ее половинки отталкиваются друг от друга с бесконечной силой. Так что логичнее предположить, что вторая гипотеза ближе к реальности.

[Dmitriy40]

Если дело только в нулевом расстоянии между полусферами по экватору, то ну раздвиньте их на атомное расстояние ... Точнее ограничьте пределы интегрирования. Лучше даже не на атомное, а на $R\cdot10^{-9}$, к примеру. Вполне себе физическое ограничение.

[lel0lel]

По-моему, по углам $\varphi_1, \varphi_2$ слишком поспешно проинтегрировали. Хотя это не причина полученной бесконечности, но всё-таки:

$$r_{12}^2=2R^2-2R^2(\sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos(\varphi_2-\varphi_1)+\cos\theta_1\cos\theta_2),$$

здесь $\theta_1$ и $\theta_2$ отсчитываются от положительного направления оси $z$.

Лучше сначала решить задачу о взаимодействии двух сферических колец одно между плоскостями $z=z_1$ и $z=z_1+dz_1$ $(z_1>0)$, другое между $z=z_2$ и $z=z_2+dz_2$ $(z_2<0)$. Затем по $z_1, z_2$ двойной интеграл.

[realeugene]

StaticZero,
найдите напряженность поля вблизи края бесконечно длинной бесконечно тонкой полосы с равномерной поверхностной плотностью заряда. Вы удивитесь.

Любые бесконечности нефизичны и требуют аккуратности при взятии предельных переходов.

[realeugene]

Нефизичность в некоторых случаях представления о бесконечно малой толщине поверхностного слоя заряда можно увидеть на следующем простом примере. Допустим, у нас есть сфера радиуса $r$ с постоянной поверхностной плотностью заряда $\sigma$. Заряд этой сферы пропорционален $\sigma r^2$, так что, по теореме Гаусса, напряженность электрического поля вблизи поверхности сферы не зависит от её радиуса, в отличие от заряда внутри сферы, пропорционального квадрату радиуса. А теперь устремим радиус сферы к нулю, сохраняя постоянной поверхностную плотность заряда.

[AnatolyBa]

Не знаю, решит ли это проблему, но бросается в глаза $\cos \phi $ в самой первой формуле. Это ведь неправильно когда точки на полусферах не в одной вертикальной плоскости.
Понимаю, что точное решение получается намного сложнее, но что делать.
Проще разобраться, почему заряженную плоскость не разрывает на куски

[realeugene]

AnatolyBa в сообщении #1419497 писал(а):

Проще разобраться, почему заряженную плоскость не разрывает на куски

Поместим на плоскость тестовый заряд. Две полуплоскости тащят его в разные стороны, каждая с бесконечной силой. А бесконечность минус бесконечность - это что угодно, как известно.

[AnatolyBa]

realeugene
Зачем вот это? Вы же сами предлагали найти напряженность около края полосы.
Вот и давайте посмотрим, как это поле воздействует на другую, рядом лежащую полосу

[Утундрий]

Давайте совсем просто: почему не разрывает на части заряженный отрезок? Ответ "вообще-то разрывает" правилен, но нам не подходит. Нужно как-то выкручиваться.

[AnatolyBa]

С отрезком сложнее.
Две полосы, по моему, наиболее простой вариант и он максимально близок к тем экваториальным полоскам, которые обвинял StaticZero

[realeugene]

AnatolyBa в сообщении #1419600 писал(а):

Вот и давайте посмотрим, как это поле воздействует на другую, рядом лежащую полосу

Ну а что такое "заряженная полоса"? Она состоит из заряженных элементарных частиц. Рассмотрим один электрон. Почему он никуда не улетает, раз на него со стороны каждой половинки действует такая огромная сила? Так и улетел бы, если бы не квантовая механика.

Вопрос можно упростить до эквивалентного: почему электрон не разрывается на части под действием электростатических сил?

[Утундрий]

realeugene
То что электродинамика противоречива ещё не означает, что её нужно выбрасывать. Повторюсь о необходимости "выкручиваться".

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1419627 писал(а):

Повторюсь о необходимости "выкручиваться".

Зачем? Не полезнее ли огородить нефизичные места в классической электродинамике флажками?

Тем более, что это не первая ловушка с дельта-функциями.