Конечная группа

[GlobalMiwka]

Доброго времени суток.

Если группа имеет конечное кол-во подгрупп, то она конечна.

Кроме случая, когда группа состоит из конечного числа подгрупп все собственные группы конечны, а группа бесконечна следует и возможного равенства $kg = k'\Rightarrow g=k'k^{-1} \Rightarrow g\in K$, где $g$ - бесконечного порядка, а $K$ - конечного. Что делать если $kg = g'$ ?

Для случая конечного кол-ва подгрупп бесконечного порядка, тоже не ясно.

[vpb]

Написанное рассуждение сумбурно крайне и непонятно. Непонятно также точное условие задачи. Доказать, что если группа имеет конечное число подгрупп, то она конечна ?

[GlobalMiwka]

Вы верно условие повторили.

Из условия надо опровергнуть 1) группа имеет конечное число подгрупп конечного числа и она бесконечна 2) группа бесконечна и имеет конечное число бесконечных только подгрупп. 3) группа бесконечна, имеет конечное число подгрупп и по крайней мере одну бесконечную подгруппу.

я часть части 1) рассмотрел

[ET]

GlobalMiwka в сообщении #1418650 писал(а):

группа имеет конечное число подгрупп конечного числа

Это что значит?
Если бы мне это попросили доказать, я бы доказывал от противного и рассмотрел только 2 случая: бесконечная группа периодическая и непериодическая. В обоих случаях элементарно доказывается наличие бесконечного количества подгрупп

[GlobalMiwka]

сама групп бесконечна, имеет конечное число подгрупп и подгруппы конечного порядка.

ну в периодической $g^{kn},g^{-kn}$ - подгруппа видимо, а в непериодической может быть периодическая ?

[Connector]

Допустим, что группа не является периодической и, следовательно, имеет хотя бы одну циклическую подгруппу бесконечного порядка. Остаётся показать, что множество подгрупп бесконечной циклической группы бесконечно.

[ИСН]

Возьмите любой элемент. Он порождает циклическую подгруппу. Она либо конечная, либо нет. Если нет, то мы победили. А если да, то возьмите любой другой элемент (не из этой подгруппы). Он порождает какую-то свою, другую циклическую подгруппу. Она либо конечная, либо ...

[GlobalMiwka]

Ясно любой элемент можно на себя перемножать, или он будет конечен или бесконечен, одно из двух. А подгруппами будут $g^{kn},g^{-kn}$

[ИСН]

В теории групп даже более, чем в других областях, важна точность терминологии. Я понимаю, что Вы на самом деле понимаете, что хотите сказать. Но что такое $g^{kn}$? Наверное, это подгруппа бесконечной циклической группы, состоящая из элементов $\{g^{kn}\}$, где $k\in\mathbb Z$, a $n$ фиксировано? Ну а тогда чем это отличается от $g^{-kn}$?

[GlobalMiwka]

Извиняюсь, что с опозданием.

Если это бесконечная периодическая группа, то все ее элементы различны, то обратными элементами, что должно быть кроме $g^{-kn}$ ?

[Someone]

GlobalMiwka в сообщении #1418613 писал(а):

$kg = k'\Rightarrow g=k'k^{-1} \Rightarrow g\in K$

Первая импликация в произвольных группах неверна. Смысл второй вообще непонятен. Все равенства имеют смысл только в одном случае: когда все упомянутые буквы обозначают элементы одной и той же группы.

GlobalMiwka в сообщении #1418613 писал(а):

Что делать если $kg = g'$

Чем $g'$ хуже, чем $k'$?

GlobalMiwka в сообщении #1418684 писал(а):

в периодической $g^{kn},g^{-kn}$ - подгруппа видимо

Что такое $g,k,n$? Это те же самые $g,k$, которые были в предыдущих цитатах?

[ET]

GlobalMiwka
Вы пишите очень сумбурно и непонятно что. Давайте тогда так, без слов периодическая и непериодическая группа:
1. У вас есть некая группа. Возьмем в ней любой неединичный элемент $a$ Рассмотрим минимальную подгруппу этой группы, содержащую этот элемент. Что из себя может представлять эта подгруппа (Все случаи)?
2. У вас есть группа... По-моему лет 20-30 назад у нас писали так: $<Z, +>$ То есть множество всех целых чисел с операцией сложения. Можете в ней указать бесконечное семейство подгрупп?
3. У вас есть бесконечная группа, у которой есть подгруппа, изоморфная группе из п 2. Можете в ней указать бесконечное семейство подгрупп?
4. У вас есть бесконечная группа, в которой нет подгруппы, изоморфной группе из п 2. Можете в ней указать бесконечное семейство подгрупп?

[GlobalMiwka]

Someone

$g\in G\diagdown K$. где $K$ - объединение конечных подгрупп. Первая импликация невера я места просто перепутал, но суть не меняеться, получается, что $g$ одновременно принадлежит $K$ (элементы конечной подгруппы) и $G\diagdown K$ - элементы бесконечной подгруппы, т.е. элементы с бесконечным порядком.

$g^{kn}$ : $g$ - элемент бесконечного порядка. $k,n$ - просто числа, т.е. степень.

ET

мы, вроде, разобрались. Вопрос встал, что за подгруппы могут быть в бесконечной периодической группе. Я обозначил их просто $g^{kn},g^{-kn}$, а смысл всех букв дал выше.

[Someone]

GlobalMiwka в сообщении #1419530 писал(а):

получается, что $g$ одновременно принадлежит $K$ (элементы конечной подгруппы) и $G\diagdown K$ - элементы бесконечной подгруппы, т.е. элементы с бесконечным порядком.

Что-то я подзабыл. А есть теорема, что в группе произведение двух элементов конечного порядка тоже имеет конечный порядок?

Задача Бёрнсайда

[GlobalMiwka]

Я просто рассмотрел вариант когда произведение элемента конечной подгруппы на элемент бесконечного порядка равен элементу этой же конечной подгруппы, тогда получается, что элемент бесконечного порядка является элементом этой самой конечной подгруппы. Пллучается противоречие.