Эффективная оценка параметра

[classman]

Выборка $X_1 ... X_n$ случайной величины $X$ имеет экспоненциальное распределение с параметром $\lambda = 1/(\theta)$. Доказать, что $ \bar X $ - эффективная оценка параметра $\theta$.

-- 26.09.2019, 12:51 --

Вопрос заключается в следующем, как найти дисперсию самой оценки? Т.е. как найти $D(\hat{\theta})$. Она нужна для применения неравенства Крамера Рао. Ну или $MSE(\hat{\theta})$, но в принципе они должны совпасть, оценка несмещенная.

[alcoholist]

classman в сообщении #1417549 писал(а):

как найти дисперсию самой оценки?

Так по определению. У вас $\hat{\theta}=\bar{x}$. Считаем

$$ \mathrm{D}(\hat{\theta})=\mathrm{E}_\theta\left((\hat{\theta}-\theta)^2\right), $$

где матожидание вычисляется по плотности распределения $\mathrm{Exp}\left(\theta^{-1}\right)$.

[classman]

alcoholist в сообщении #1417592 писал(а):

Так по определению. У вас $\hat{\theta}=\bar{x}$.

я и не спорю.
Вопрос в том, как искать $E(\hat{\theta}^2) = E(\bar{X}^2)$

[Lia]

classman в сообщении #1417593 писал(а):

Вопрос в том, как искать $E(\hat{\theta}^2) = E(\bar{X}^2)$

Не надо его искать. Ищите сразу дисперсию. Дисперсия выборочного среднего, какие проблемы, если учесть, что выборка независима?

[classman]

Lia
Спасибо! Получается так?
$D(\bar X) = D(\sum X_i / n) = \sum D(X_i/n) \\$ (в силу независимости)
$D(X_i / n) = \frac{1}{n^2}(M(X_i^2) - M(X_i)^2)$

[Lia]

Так. (Звездочек не надо ставить взамен знака умножения.) Но что ж Вы остановились?

[classman]

Lia
Дальше уже понятно:)

Lia в сообщении #1417605 писал(а):

(Звездочек не надо ставить взамен знака умножения.)

где же звездочки?не вижу

[Lia]

classman в сообщении #1417610 писал(а):

где же звездочки?не вижу

Отредактированы.