Определители трехдиагональных матриц

[A.M.V.]

При нахождении определителей $\alpha_n$ трехдиагональных матриц методом рекурсии решается характеристическое уравнение $\lambda^2+p\lambda+q=0$.
В случае, например, $\lambda_1\ne\lambda_2$, базис

$$e_1=(\lambda_1,...,\lambda_1^n,...),$$

$$e_2=(\lambda_2,...,\lambda_2^n,...).$$

и $\alpha_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n.$
В случае, когда корни характеристического уравнения комплексные $\lambda_{1,2}=c \pm di $, решение представляется в виде $\alpha_n=(a-bi)(c+di)^n+(a+bi)(c-di)^n$.
При любом $n$ это выражение принадлежит множеству вещественных чисел $\forall n\;\alpha_n \in \mathbb {R} $:

$n=1\Rightarrow$ $\alpha_n=2ac+2bd,$
$n=2\Rightarrow$ $\alpha_n=2ac^2+4bdc-2ad^2,$
$n=3\Rightarrow$ $\alpha_n=2ac^3+6bdc^2-6acd^2-2bd^3$ и т.д.
В какие области математики ведет этот факт? Числа Эйзенштейна, конформные отображения (какие?).
Подскажите. Данный факт - это гиперссылка... куда? Какие статьи, книги, монографии содержат рассмотрение данного факта, с чем он связан?

[Pphantom]

A.M.V., не надо дублировать темы в разных разделах. Дубль удален.

[vpb]

A.M.V. в сообщении #1417314 писал(а):

трехдиагональных матриц

Каких ? Изобразите матрицу в явном виде. Как в ней участвуют $p$, $q$ и др ?

A.M.V. в сообщении #1417314 писал(а):

Числа Эйзенштейна, конформные отображения (какие?).

Это тут совершенно ни при чем.

A.M.V. в сообщении #1417314 писал(а):

Данный факт - это гиперссылка... куда?

В задачник по алгебре, и даже не Кострикина, а Проскурякова. Там примеров на рекуррентное нахождение определителя море.

[A.M.V.]

Для вычисления трехдиагональных определителей следующего вида:
$D_n=\begin{vmatrix} a & b & 0 &...& 0&0\\c& a &b&...& 0&0\\0& c& a&...&0&0 \\ .& .& .&...&.&.\\0& 0& 0&...&c&a\end{vmatrix}.$
Рассмотрим множество $s$ бесконечных числовых последовательностей (линейное пространство)
$x=\{\alpha_1,...,\alpha_n,...\}, \alpha \in \mathbb {Z}.$
Тогда возможны следующие линейные операции
1)$\lambda x=\{\lambda\alpha_1,...,\lambda\alpha_n,...\},$
2)$x+y=\{\alpha_1+\beta_1,...,\alpha_n+\beta_n,...\}$, если $y=\{\beta_1,...,\beta_n,...\}, \beta \in \mathbb {C}.$
Подпространством $F$ в $s$ будем считать множество всех последовательностей $x$, для элементов которых выполняется реккурентное соотношение (разностное уравнение второго порядка):

$$\alpha_n=p\alpha_{n-1}+q\alpha_{n-2},n\in \mathbb {Z},n>2$$

$\dim(F)=2$.
Построим базис $F$, в котором последовательность $x$ может быть представлена как $x=c_1\lambda_1+c_2\lambda_2$.
Составим характеристическое уравнение $\lambda^2+p\lambda+q=0.$
$\lambda_1\ne\lambda_2$,
тогда базис

$$e_1=(\lambda_1,...,\lambda_1^n,...),$$

$$e_2=(\lambda_2,...,\lambda_2^n,...).$$

и $\alpha_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n.$
Для определения $c_1$ и $c_2$ нужно составить и решить систему линейных уравнений:

$$\left\{ \begin{aligned} \lambda_1c_1+\lambda_2c_2=\alpha_1,\\ \lambda_1^2c_1+\lambda_2^2c_2=\alpha_2. \end{aligned}\right.$$

Решая систему получаем, что

$$c_1=\frac{\alpha_2-\alpha_1\lambda_2}{\lambda_1(\lambda_1-\lambda_2)},$$

$$c_2=\frac{\alpha_1\lambda_1-\alpha_2}{\lambda_2(\lambda_1-\lambda_2)}.$$

Тогда формула для вычисления $n$-го элемента последовательности $x$ $\alpha_n$ при $\lambda_1\ne\lambda_2$ представима в виде:

$$\alpha_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n=\frac{\alpha_2-\alpha_1\lambda_2}{\lambda_1(\lambda_1-\lambda_2)}\lambda_1^n+\frac{\alpha_1\lambda_1-\alpha_2}{\lambda_2(\lambda_1-\lambda_2)}\lambda_2^n.$$

Тогда при $\lambda \in \mathbb {C}, $ $\alpha_n=(a-bi)(c+di)^n+(a+bi)(c-di)^n \in \mathbb {Z}$ , и связаны с биномиальными коэффициентами.

Вопрос связан с числами типа $\alpha_n=(a-bi)(c+di)^n+(a+bi)(c-di)^n$ как отображениями $ \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {Z}$.
В какой области математики они ещё встречаются?