Пространство элементарных событий

[Ёж]

Пусть игральная кость подбрасывается один раз. Элементарные события: $\omega_1$ – появление 1 очка, $\omega_2$ – 2, $\omega_3$ – 3, $\omega_4$ – 4, $\omega_5$ – 5, $\omega_6$ – 6. Пространство элементарных событий $\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\}$.
Если обозначить через $w_1$ – появление четного числа очков, $w_2$ – появление нечетного числа очков, то можно ли для данного испытания считать, что $w_1$, $w_2$ – элементарные события и $W=\{w_1, w_2 \}$ – пространство элементарных событий?

[Mihr]

Это зависит от задачи, которую Вы решаете. Если в задаче важна лишь чётность выпавших очков и больше ничего, то почему бы и нет?

[Sdy]

Ёж,
Они же составляют полную группу и при этом может произойти либо первое, либо второе.
Главное, чтобы пространство элементарных исходов описывало все исходы наблюдаемого эксперимента и при этом исходы были взаимоисключаемы.
Так и есть в нашем случае. Потому, вы можете использовать обе модели, в зависимости от удобства.

[ewert]

Mihr в сообщении #1416591 писал(а):

Если в задаче важна лишь чётность выпавших очков и больше ничего, то почему бы и нет?

Это не совсем так. В "классической" схеме подразумевается, что все элементарные исходы (слово "события" здесь не очень уместно) -- равновероятны.

И вот с цифирками это так просто по определению (на чём основано это определение, и обоснованно ли оно -- вопрос следующий; но вот -- по определению).

А вот с чётностью/нечётностью вопрос уже более сложный. Если мы принимаем как равновероятные исходы "более элементарные", то равновероятность чётности и нечётности -- это уже некоторая теорема (прошу прощения за пафос; но есть масса задач, где равновероятность подобных склеенных событий оказывается неверной, причём эта неверность заранее неочевидна).

[Connector]

ewert в сообщении #1416771 писал(а):

В "классической" схеме подразумевается, что все элементарные исходы (слово "события" здесь не очень уместно) — равновероятны.

В классической схеме — да, но в общем случае это необязательно; элементарным исходам можно приписать любые вероятности (конечно, неотрицательные и в сумме дающие $1$.)

[ewert]

Connector в сообщении #1416774 писал(а):

В классической схеме — да, но в общем случае это необязательно; элементарным исходам можно приписать любые вероятности

Как говаривал классик: "формально это верно, а по существу -- издевательство". Т.е. это верно лишь до тех пор, пока не начинаешь хоть что-то решать.

[Connector]

ewert в сообщении #1416784 писал(а):

Т.е. это верно лишь до тех пор, пока не начинаешь хоть что-то решать.

Я представляю себе это так. Допустим, у нас было пространство элементарных исходов, и в нем появилась система событий, представляющая собой разбиение этого пространства. Мы нашли вероятности этих событий (они оказались различными), и теперь решили принять эти события за элементарные, чтобы двигаться дальше. Или, другими словами, но о том же: на пространстве исходов определена случайная величина. Множество её значений — не что иное как новое пространство исходов. Но распределение вероятностей этой величины может быть любым.

W. Feller писал(а):

Полезность пространств с равновероятными элементарными событиями проявляется в основном при изучении азартных игр и в комбинаторном анализе.

[Mihr]

(ewert)

ewert, конечно, Вы правы, но я стараюсь не делать таких оговорок, которые всё равно никак не повлияют на ответ. Мне тоже захотелось предложить ТС сперва доказать, что выпадение чётного и нечётного числа очков одинаково вероятно. Но это желание я сознательно подавил. Думаю, в данном случае это всё-таки лишнее. Хотя бы потому, что доказательство будет основано на равновозможности выпадения чисел 1, 2, ... , 6, а ведь и эта равновозможность тоже, строго говоря, не очевидна... Наверняка, всё-таки, речь идёт о простенькой учебной задаче, и долгие "обоснования" здесь вряд ли требуются.

[arseniiv]

(То есть я не зря выше не стал отправлять комментарий об измельчении произвольного вероятностного пространства до другого, а потом отправления назад случайных величин и событий, определённых для последнего и совместимых с этим измельчением.)

[gris]

может быть это задано в цикле задач, призванных задавить пагубную привычку считать элементарные исходы равновозможными по умолчанию. например, сумма очков при бросании двух костей. про пол второго ребёнка или динозавра я уж молчу: это классика.

[ewert]

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1416797 писал(а):

Хотя бы потому, что доказательство будет основано на равновозможности выпадения чисел 1, 2, ... , 6, а ведь и эта равновозможность тоже, строго говоря, не очевидна... Наверняка, всё-таки, речь идёт о простенькой учебной задаче, и долгие "обоснования" здесь вряд ли требуются.

Обоснования формальные -- излишни, но вот сознавать, что мы считаем их равновероятными лишь за неимением дополнительной информации -- это важно. И на это нужно обращать внимание.