Еще раз о сечении Дедекинда.

[Eugene567]

Ну хорошо, допустим мы выяснили, что множество рациональных чисел имеет дырки, не обращаясь к конкретным примерам.
Допустим мы ввели концепцию сечения Дедекинда, определили, что такое иррациональное число.
Но как доказать, что множество всевозможных сечений - является множеством точек на оси и заполняет всю ось без дырок?
То есть как доказать, что точке соответствует одно сечение, а одному сечению - одна точка?
Что, если одно сечение определяет не одно число, а некоторое множество?
К примеру сечение $(-\infty,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$ определяет не $\sqrt{2}$, а некоторую сущность $\left\lbrace\sqrt{2}-\varepsilon,\sqrt{2}+\varepsilon\right\rbrace$.
Под символом $\left\lbrace a-\varepsilon,a+\varepsilon\right\rbrace$ - подразумевается некоторая сущность, не являющаяся ни отрезком, ни интервалом, а является неким множеством - микроконтинуумом, не содержащим рациональных чисел.
И вот иррациональное число отождествляется с точкой на оси, и мы думаем что заполнили все точки на оси, а на самом деле мы пропустили бесконечное множество точек микроконтиннуума.
Можете ли вы гарантировать, что не существует никакого геометрического парадокса, который заставит ввести такие множества типа микроконтинуума.

[ewert]

mihaild в сообщении #1415959 писал(а):

Воспользуйтесь счетностью множества рациональных чисел -

Ни в коем случае. Счётность не имеет ни малейшего отношения к вещественности -- если говорить только об определении последней. Дедекиндовы же сечения -- ровно об её определении.

-- Чт сен 19, 2019 18:19:16 --

Eugene567 в сообщении #1415981 писал(а):

Но как доказать, что множество всевозможных сечений - является множеством точек на оси и заполняет всю ось без дырок?

Никак, если не прибегнуть к помощи Блока, Пастернака или на худой конец Быкова. "Ось" -- не более чем лирика.

[oleg.k]

Eugene567 в сообщении #1415981 писал(а):

То есть как доказать, что точке соответствует одно сечение, а одному сечению - одна точка?
Что, если одно сечение определяет не одно число, а некоторое множество?

Вы торопитесь и смешиваете все в кучу: точки, числа, сечения в $\mathbb{R}$, сечения в $\mathbb{Q}$. Я Вас уже спрашивал: что такое действительное число?

[Eugene567]

Действительное число - это сечение в множестве рациональных чисел.

[mihaild]

ewert в сообщении #1415985 писал(а):

Счётность не имеет ни малейшего отношения к вещественности -- если говорить только об определении последней

Вопрос был не про вещественность, а про неполноту (существование сечений рациональных чисел, не задающих никакое рациональное число). Для этого можно показать, что любое счетное упорядоченное поле неполно.

Eugene567 в сообщении #1415981 писал(а):

Но как доказать, что множество всевозможных сечений - является множеством точек на оси и заполняет всю ось без дырок?

А что такое "ось"?
В рациональных числа бывает такое, что всё либо слева, либо справа, а "под ногами" ничего нет (=существуют сечения, не задаваемые никаким рациональным числом). В вещественных числах так не бывает (и это доказывается).

[ewert]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1416012 писал(а):

Для этого можно показать, что любое счетное упорядоченное поле неполно.

Это дело известное: гвозди забивать микроскопом, естественно, можно.

[mihaild]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1416014 писал(а):

Это дело известное: гвозди забивать микроскопом, естественно, можно.

А как еще показать неполноту рациональных чисел, не используя конкретного иррационального числа?

[ewert]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1416018 писал(а):

А как еще показать неполноту рациональных чисел, не используя конкретного иррационального числа?

А это к вопросу о том, нафига вообще вещественные числа. Исключительно для того, чтобы выполнялась аксиома полноты/непрерывности -- в каком угодно варианте (пусть даже в виде принципа вложенных отрезков, неважно).

Ну так и в любом варианте корень из двух будет вполне достаточной иллюстрацией. Которую с пользой для дела можно даже и усилить: а с какой стати мы вообще считаем, что корень существует?...

[oleg.k]

Eugene567 в сообщении #1416010 писал(а):

Действительное число - это сечение в множестве рациональных чисел.

Под сечениями Вы понимаете

Eugene567 в сообщении #1415889 писал(а):

Итак сечение Дедекинда - это такое разбиение множества рациональных чисел на два подмножества $A$ и $B$,
называемых классами, такие что любое рациональное число из $A$ меньше любого рационального из $B$,
и каждое рациональное число попадает в один из классов.

(Вы слово "непустых" пропустили)
Рассмотрим сечение $(A, B)$ в области рациональных чисел, где $A = \{x| x < 1\}$, $B = \{x| x \geqslant 1\}$ и сечение $(A', B')$ в области рациональных чисел, где $A = \{x| x \leqslant 1\}$, $B = \{x| x > 1\}$. Нетрудно убедится, что это действительно сечения, при том они не являются тождественными. Если определить множество действительных чисел как множество сечений в области рациональных чисел (то, как Вы предлагаете), то числа $(A, B)$ и $(A', B')$ - различные действительные числа. Затем в этом множестве надо будет определить операции сложения и умножения. Как Вы определите эти операции? Будет ли это множество с операциями, которые Вы на нем определите, упорядоченным полем? Какое из чисел $(A, B)$ и $(A', B')$ будет нейтральным элементом по умножению и почему? Может быть стоит более точно сформулировать определение множества вещественных чисел?

[oleg.k]

Чтобы не возникли недопонимания терминологического характера, отмечу, что под сечением я буду понимать то определение, которое привел ТС в стартовом сообщении (с оговоркой о непустоте множеств).

Раз уж речь зашла про построение вещественных чисел следуя Дедекинду, то стоит сказать пару слов о его теории. Дедекинду присваивают создание перовой строгой теории вещественных чисел, но на мой взгляд, его заслуга не столько в этом, сколько в рассмотрении самой сущности того понятия, которое мы называем непрерывностью, говоря о каком-либо линейно-упорядоченном множестве. До него было принято руководствоваться геометрическими соображениями: под непрерывностью понимали то, что присуще прямой линии. Понятно, что никакой строгости при таком подходе и близко нету. Дедекинд понял, что идея непрерывности к прямой не привязана. Он предложил считать линейно упорядоченное множество непрерывным тогда и только тогда, когда любое сечение этого множества всегда замкнуто ровно с одной стороны (по простому: когда нету "скачков" и "пробелов").

Теперь по поводу вещественных чисел. Да простит меня Кронекер, числа не даны нам Богом. Мы их придумываем сами, чтобы описывать окружающие нас явления и решать поставленные перед нами задачи. Числа - это всего лишь модели. Хотим считать кабанов - нам даже натуральных чисел много. Хотим поделить три кабана на пять человек - нужны рациональные числа. Хотим посчитать максимально возможную годовую прибыль при 100% годовых и максимальной частоте капитализации процентов, нужны вещественные числа. Хотим брать сложные интегралы (что само по себе является задачей вещественного анализа) - нужны комплексные числа. Вообще, это непраздный вопрос: являются ли вещественные числа наилучшей моделью для описания задач, которые они собственно описывают. Может быть можно придумать какие-то другие числа, которые лучше описывают, например, задачи, связанные с физической реальностью? В любом случае, это не вопросы матана. Вот есть у нас рациональные числа. Все на первый взгляд прекрасно: они замкнуты относительно четырех основных операций, интуитивно понятны - красота. А на второй взгляд уже не так прекрасны: даже простейших корней нету. Вспоминаем Дедекинда и видим, что рациональные числа не обладают тем, что мы называем непрерывностью. И нам оказывается их мало. Что мы хотим? Мы хотим иметь какое-то линейно упорядоченное поле, которое было бы непрерывным. Если хотим - пусть будет Сформулируем список требований (аксиом) и дело в шляпе. Вот только надо сделать еще парочку действий. Во-первых, нужно собственно такой набор объектов, с определенными на них операциями, предоставить (непротиворечивость). Во-вторых, надо убедиться, что полученная система аксиом категорична, т.е. все модели ею определяемые будут изоморфны. Второе в курсах анализа обычно не делают, но это можно принять на веру (и доказать в курсе алгебры): нам повезло, система аксиом непрерывного линейно-упорядоченного поля категорична. А вот первое надо бы сделать.

И тут начинаются странные (лично для меня) вещи. Я уже не первый раз замечаю, что вещественные числа отождествляют с сечениями в области рациональных, что имхо не очень правильно. То, что в области рациональных чисел существуют сечения типа "пробел" говорит о том, что рациональные числа не являются непрерывными. То, что в области вещественных чисел любое сечение всегда замкнуто с одной стороны и открыто с другой, говорит о непрерывности вещественных чисел. Но почему мы стали вдруг считать, что те объекты, из которых состоит наше непрерывное упорядоченное поле, это сами сечения? Сечения - это лакмусовая бумажка непрерывности. Почему их стали отождествлять с самими вещественными числами? Объекты поля могут быть любыми, главное чтобы они вместе с операциями существовали и удовлетворяли аксиомам непрерывного упорядоченного поля. Можно ли в качестве объектов взять все сечения в области рациональных чисел? Наверное можно, только придется хорошо подумать, как определить операции. А можно взять не все сечения, а только те, у которых нижний класс открыт. И тогда операции будет определить проще. А можно вообще брать не сечения, а такие множества $M$:
1. $M \subset \mathbb{Q}$, $M \ne \varnothing$, $M \ne \mathbb{Q}$
2. $\forall p, q \in \mathbb{Q}, p < q: q \in M \Rightarrow p \in M$
3. в $M$ нет наибольшего числа.

Я подозреваю, что корни такой трактовки растут из нулевой главы первого тома в трехтомнике Фихтенгольца (которая называется "Введение. Вещественные числа").

Фихтенгольц писал(а):

Не вводя для иррациональных чисел никаких однотипных обозначений, мы неизменно будем связывать иррациональное число $\alpha$ с тем сечением $A|A'$ в области рациональных чисел, которое его определяет. Для однообразия нам часто удобно будет то же сделать и по отношению к рациональному числу $r$. Но для каждого числа $r$ существует два определяющих его сечения: в обоих случаях числа $a < r$ относятся к нижнему классу, числа же $a' > r$ - к верхнему, но само число $r$ можно по произволу включить либо в нижний класс (тогда $r$ там будет наибольшим), либо в верхний (и $r$ там будет наименьшим). Для определенности мы условимся раз навсегда, говоря о сечении, определяющем рациональное число $r$, включать это число в верхний класс.

Я считаю, что необходимо строго различать сечения как объекты непрерывного упорядоченного поля и сечения, как инструмент, которым мы пользуемся, когда мы хотим понять, является ли множество непрерывным. У Фихтенгольца это различие стерто. Где-то в этом месте и возникло непонимание у ТС-а. Не удивлюсь, если ТС читает про сечения у Фихтенгольца.

[Eugene567]

Да, действительно про сечения я читаю у Фихтенгольца.
Но вот непонятно, как вы доказываете непрерывность вещественных чисел.
Так же непонятно как доказать что геометрическая прямая заполнена.

-- 20.09.2019, 08:52 --

Как доказать что сечение Дедекинда вида: $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$ определяет только одно число a (именно как одну точку)?

[mihaild]

Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):

Так же непонятно как доказать что геометрическая прямая заполнена.

Что вы понимаете под геометрической прямой? Она часто определяется как множество вещественных чисел.

Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):

Но вот непонятно, как вы доказываете непрерывность вещественных чисел.

Неужели у Фихтенгольца нет этого доказательства? Возьмите какое-нибудь доказательство (у Фихтенгольца если есть, если нет - то например у Рудина) и напишите, что в нем непонятно.

[oleg.k]

Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):

Но вот непонятно, как вы доказываете непрерывность вещественных чисел.

Вы мне так и не ответили, какие объекты Фихтенгольц считает вещественными числами. Сложно рассуждать о непрерывности множества, про элементы которого Вы ничего не говорите Тогда скажу я. Фихтенгольц определяет множество вещественных чисел как множество всех сечений в области рациональных чисел, у которых в нижнем классе нету наибольшего элемента. Вещественное число (по Фихтенгольцу) - это не какая-то неведомая точка "оси", это вполне конкретный объект - сечение в $\mathbb{Q}$ с открытым нижним классом. Понятно, что нам нужно не просто множество, а алгебраическая структура. Для этого надо определить две операции: сложение и умножение. Еще надо определить порядок. Только после того, как Вы все это сделаете, можно будет поговорить о непрерывности этого множества.

Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):

Как доказать что сечение Дедекинда вида: $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$ определяет только одно число a (именно как одну точку)?

Вы хотели спросить: "Как доказать, что сечение Дедекинда в области рациональных чисел типа "пробел" определяет только одно вещественное число $a$?" Постарайтесь для таких сечений не употреблять форму записи с объединением интервалов, потому что непонятно, про какие интервалы идет речь: в $\mathbb{Q}$ или в $\mathbb{R}$. Если в интервалы в $\mathbb{Q}$, то что такое $a$? Если интервалы в $\mathbb{R}$, то это не сечение. Ответ на этот вопрос прост: по определению. Сечение в $\mathbb{Q}$ типа "пробел" не имеет наибольшего элемента в нижнем классе, значит является вещественным числом по определению множества вещественных чисел, как множества всех сечений в $\mathbb{Q}$, у которых нету наибольшего элемента в нижнем классе


Про

Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):

Так же непонятно как доказать что геометрическая прямая заполнена.

и

Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):

(именно как одну точку)

поговорим после того, как Вы разберетесь сначала с операциями и порядком, а затем с непрерывностью вещественных чисел.

[Mr Tube]

Цитата:

Что если я сделаю так:
Невидимое сечение - это такое разбиение множества действительных чисел на два подмножества $A$ и $B$,
называемых классами, такие что любое действительное число из $A$ меньше любого действительного из $B$,
и каждое действительное число попадает в один из классов.
Далее утверждается, что существуют следующие типы сечений:
1. $(-\infty,a]\cup(a,+\infty)$
2. $(-\infty,a)\cup[a,+\infty)$
3. $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$
В последнем случае говорится, что сечение определяет невидимое число $a$.
Невидимые числа нельзя представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, точно также как иррациональные нельзя представить в виде конечных. К нему можно приблизиться сколь угодно близко, точно также как к иррациональному можно приблизится за счет рациональных.

Вы имеете полное право так делать и таким образом ввести новый класс чисел - Невидимых. Более того, Вы имеете право на этом не останавливаться и пойти дальше, рассекая множество невидимых чисел и т.о. получить следующий класс чисел, назовем их Неосязаемые. Надеюсь Вы понимаете, что конца этому процессу не предвидеться, так как множество неосязаемых чисел тоже можно рассечь. Что бы остановить как-то этот бесконечный процесс, нужно вспомнить, что непрерывность включает в себя некий стопор, говорящий о том, что действительные числа расположены вплотную друг к другу, причем так плотно, что рассечь их невозможно.
Мы понимаем, что число не имеет размера, с другой стороны непрерывность говорит нам о плотном, без наличия промежутков, расположении чисел. Это аксиомы (или доказанные теоремы, если постулируется иное в этой же системе), на которых строиться весь анализ, да и вся математика и логика. Но есть проблема. Зададимся вопросом, на сколько нужно сместиться вправо или влево, что бы перейти от одного заданного числа к соседнему? Понятно, что смещение оказывается равным нулю, ведь число не имеет размеров и расположены числа вплотную друг к другу. Но если смещение равно нулю при переходе к соседнему числу, то и смещение к любому числу, в т.ч. и отстоящему (по величине) на бесконечность от заданного, равно нулю. Налицо явный парадокс.
Физики с этим столкнулись еще в прошлом веке при построении квантовой теории. Поэтому Р. Фейнман предположил наличие структуры у пространства - пространство квантовано. Существуют точки пространства, между которыми пространства нет. Поэтому Ваше предположение о наличии класса Невидимых чисел очень даже имеет право быть
А вот непрерывность прекрасно работает, хотя ее и нет!

[oleg.k]

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):

Вы имеете полное право так делать и таким образом ввести новый класс чисел - Невидимых.

Третий пункт у ТС-а не является сечением.

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):

Более того, Вы имеете право на этом не останавливаться и пойти дальше, рассекая множество невидимых чисел и т.о. получить следующий класс чисел, назовем их Неосязаемые.

Научите рассекать множество, которое даже не определено?

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):

Надеюсь Вы понимаете, что конца этому процессу не предвидеться, так как множество неосязаемых чисел тоже можно рассечь.

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):

Что бы остановить как-то этот бесконечный процесс, нужно вспомнить, что непрерывность включает в себя некий стопор, говорящий о том, что действительные числа расположены вплотную друг к другу, причем так плотно, что рассечь их невозможно.

Вы путаете плотность и непрерывность. Это разные вещи. И еще. "Рассечь" действительные числа как раз таки можно. Сечения Дедекинда ровно об этом.

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):

Мы понимаем, что число не имеет размера, с другой стороны непрерывность говорит нам о плотном, без наличия промежутков, расположении чисел.

Размер числа? Занимательно. И Вы опять смешиваете в одну кучу плотность и непрерывность.

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):

Зададимся вопросом, на сколько нужно сместиться вправо или влево, что бы перейти от одного заданного числа к соседнему? Понятно, что смещение оказывается равным нулю, ведь число не имеет размеров и расположены числа вплотную друг к другу. Но если смещение равно нулю при переходе к соседнему число, то и смещение к любому числу, в т.ч. и отстоящему (по величине) на бесконечность от заданного, равно нулю. Налицо явный парадокс.

Налицо непонимание разницы между плотностью и непрерывностью.

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):

А вот непрерывность прекрасно работает, хотя ее и нет!

Как может работать то, чего нет?