Еще раз о сечении Дедекинда.

[Eugene567]

Изучаю сечение Дедекинда. Посмотрел на форуме несколько тем схожей тематики и ответов там не нашел,
но вот вопросы создателей тем перекликаются с моими.

Итак сечение Дедекинда - это такое разбиение множества рациональных чисел на два подмножества $A$ и $B$,
называемых классами, такие что любое рациональное число из $A$ меньше любого рационального из $B$,
и каждое рациональное число попадает в один из классов.
Далее утверждается, что существуют следующие типы сечений:
1. $(-\infty,a]\cup(a,+\infty)$
2. $(-\infty,a)\cup[a,+\infty)$
3. $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$
В последнем случае говорится, что сечение определяет иррациональное число $a$.

В связи с эти вопрос: А кто сказал, что такое сечение можно провести?
Можно ли доказать возможность такого разбиения множества рациональных чисел как $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$, не обращаясь к конкретным примерам?
Ну хорошо, допустим вы приводите пример с $\sqrt{2}$. Допустим даже вы этот пример расширили до $a+b\sqrt{2}$,
где $a$ и $b$ - рациональные числа. Или даже больше все иррациональные числа вида $P_{n}(r_{1},r_{2},...,r_{n}, a)$,
где $P_n$ - конечное, бесконечное, рекуррентное или какое либо другое выражение, $r_{1},r_{2},...,r_{n}$ - рациональные числа, а $a$ - иррациональное.
Ну допустим даже, что множество $P_{n}$ является континуальным. Даже если так, откуда следует что все дырки на оси заполнены?

Что если я сделаю так:
Невидимое сечение - это такое разбиение множества действительных чисел на два подмножества $A$ и $B$,
называемых классами, такие что любое действительное число из $A$ меньше любого действительного из $B$,
и каждое действительное число попадает в один из классов.
Далее утверждается, что существуют следующие типы сечений:
1. $(-\infty,a]\cup(a,+\infty)$
2. $(-\infty,a)\cup[a,+\infty)$
3. $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$
В последнем случае говорится, что сечение определяет невидимое число $a$.
Невидимые числа нельзя представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, точно также как иррациональные нельзя представить в виде конечных. К нему можно приблизиться сколь угодно близко, точно также как к иррациональному можно приблизится за счет рациональных.

[iifat]

Eugene567 в сообщении #1415889 писал(а):

Можно ли доказать возможность такого разбиения множества рациональных чисел, не обращаясь к конкретным примерам?

Какого именно — такого?

Eugene567 в сообщении #1415889 писал(а):

Далее утверждается

У вас в третьем варианте $a$ действительное. И к какому классу оно относится?

[Eugene567]

Цитата:

iifat
Какого именно — такого?

Как в третьем варианте.

Цитата:

iifat
У вас в третьем варианте $a$ действительное. И к какому классу оно относится?

В третьем варианте $a$ - невидимое.

[Someone]

Eugene567 в сообщении #1415891 писал(а):

В третьем варианте $a$ - невидимое.

Вы не доказали, что "невидимые" действительные числа существуют. Легко построить сечение в множестве рациональных чисел, которое определяет число $a$, поэтому оно "обычное" действительное, а "сечение" в третьем случае не является сечением, так как число $a$ ни в какой класс не включено.

[amon]

Eugene567 в сообщении #1415889 писал(а):

3. $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$

Это противоречит теореме
"Основная теорема. В любом сечении, произведенном в области вещественных чисел, обязательно: или первый класс содержит наибольшее число или второй класс содержит наименьшее число." (В.И. Смирнов. Курс высшей математики. т.1 стр. 92. Наука, 1974.)

[Connector]

Да, сечение третьего типа, которое должно определить невидимое число — это щель; если определять действительные числа аксиоматически, то существование таких сечений противоречит аксиоме непрерывности; если строить систему действительных чисел, определяя иррациональные числа как сечения в множестве рациональных, то эту аксиому можно получить как теорему.

[manul91]

Someone в сообщении #1415899 писал(а):

Вы не доказали, что "невидимые" действительные числа существуют

Насколько я понял ТС, у него "невидимые" числа не являются действительными - а просто "затыкают те дырки" которые "остались" после введения действительных

Someone в сообщении #1415899 писал(а):

Легко построить сечение в множестве рациональных чисел, которое определяет число $a$, поэтому оно "обычное" действительное,

ТС вроде этого не отрицает, он спрашивает откуда мы можем быть уверенными, что действительные числа "затыкают все дырки", и не нужны еще какие-то числа

Someone в сообщении #1415899 писал(а):

а "сечение" в третьем случае не является сечением, так как число $a$ ни в какой класс не включено.

Почему $a$ нужно быть включенным в одному из множеств?
И как тут быть с нестандартным анализом, где вводятся гиперреальные числа (бесконечномалые окрестности меньше любого рационального) в добавку к обычных действительных, и это вроде ничему не противоречит

[Eugene567]

amon в сообщении #1415903 писал(а):

Это противоречит теореме
"Основная теорема. В любом сечении,...

Только, что достал этот учебник открыл страницу и стал читать доказательство.
Там непонятное предложение:
"Положим для определенности, что это число $\alpha$ принадлежит классу I..."
Что значит "Положим для определенности"? Ведь это надо доказать. Разве нет?

[mihaild]

Eugene567 в сообщении #1415913 писал(а):

Что значит "Положим для определенности"?

Это значит, что есть несколько возможных случаев, но рассуждения во всех случаях почти одинаковые, поэтому приводится доказательство для одного, а другие оставляются читателю.

[Connector]

(Уже дали ответ)

Eugene567 в сообщении #1415913 писал(а):

"Положим для определенности, что это число $\alpha$ принадлежит классу I..."

Имеется в виду, что с тем же успехом можно положить, что $\alpha$ принадлежит классу II, и доказывать, что $\alpha$ является наименьшим числом для этого класса. Но доказательство в этом случае будет проводиться совершенно аналогично, поэтому мы «для определённости» выбираем первый вариант.

[Eugene567]

Connector в сообщении #1415915 писал(а):

Имеется в виду, что с тем же успехом можно положить, что $\alpha$ принадлежит классу II,

А ели оно вообще никому не принадлежит?

[Connector]

Eugene567 в сообщении #1415916 писал(а):

А если оно вообще никому не принадлежит?

Не знаю как в изд. 1974 г., но в моем издании прямо сказано:

Цитата:

Рассмотрим совокупность всех вещественных чисел и произведем в ней какое-нибудь сечение, то есть распределим все вещественные числа (не только рациональные, но и иррациональные) на два класса I и II...

[Eugene567]

Connector в сообщении #1415917 писал(а):

то есть распределим все вещественные числа (не только рациональные, но и иррациональные) на два класса I и II...

Тогда становится понятнее...

[oleg.k]

Eugene567 в сообщении #1415889 писал(а):

В связи с эти вопрос: А кто сказал, что такое сечение можно провести?

Для того, чтобы доказать существование такого сечения, достаточно привести пример.

Eugene567 в сообщении #1415889 писал(а):

Можно ли доказать возможность такого разбиения множества рациональных чисел как $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$, не обращаясь к конкретным примерам?

Может быть и можно, а может быть и нельзя. В любом случае, это не важно, т.к. пример мы уже привели. Этого достаточно, чтобы утверждать, что сечения типа "пробел" в множестве рациональных чисел существуют. Если Вам уж очень хочется провести доказательство существования сечений типа "пробел" в области рациональных чисел, не прибегая к демонстрации конкретного примера такого сечения, то можете попробовать доказать это методом от противного. Если "пробелов" нету, то все сечения в $\mathbb{Q}$ будут только двух видов (замкнуты с одной стороны и открыты с другой). Может быть у Вас и получится прийти к какому-нибудь противоречию (только не тратьте на это доказательство много времени)

Eugene567 в сообщении #1415889 писал(а):

Ну хорошо, допустим вы приводите пример с $\sqrt{2}$. Допустим даже вы этот пример расширили до $a+b\sqrt{2}$,
где $a$ и $b$ - рациональные числа. Или даже больше все иррациональные числа вида $P_{n}(r_{1},r_{2},...,r_{n}, a)$,
где $P_n$ - конечное, бесконечное, рекуррентное или какое либо другое выражение, $r_{1},r_{2},...,r_{n}$ - рациональные числа, а $a$ - иррациональное.
Ну допустим даже, что множество $P_{n}$ является континуальным. Даже если так, откуда следует что все дырки на оси заполнены?

А что такое "дырки на оси"? Что значит, что "они заполнены"? На данном этапе все что у Вас есть - это рациональные числа и знание о том, что в них существуют три типа сечений. Пока еще действительных чисел нету. Их надо определить. Что такое действительное число? (в рамках конструктивного подхода, следуя Дедекинду)

[mihaild]

Eugene567 в сообщении #1415889 писал(а):

Можно ли доказать возможность такого разбиения множества рациональных чисел как $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$, не обращаясь к конкретным примерам?

Воспользуйтесь счетностью множества рациональных чисел - возьмите нумерацию рациональных чисел, и постройте такое разбиение. Нужно будет обеспечить чтобы никакое число не могло быть ни максимальным в левой части, ни минимальным в правой - а для этого достаточно, чтобы для любого числа, которое мы добавили в левую часть, мы добавили в левую часть и число, его большее (и аналогично для правой части).