Рассказы о множествах. Плохо определенные множества

[ForQuestion$]

Затруднение с примером из книги "Рассказы о множествах" Виленкина.
Знаю, что книга для людей почти без мат. подготовки и все очень легко по идее, но я просто совершенно не понимаю, что имеет в виду автор, рассказывая о плохо определённом в данном случае множестве:
Цитирую:

Цитата:

Известны и другие примеры, когда множество, на первый взгляд
вполне определенное, оказывается определенным очень плохо, а луч-
ше сказать — совсем неопределенным. Например, пусть множество A
состоит из всех рациональных чисел, которые можно определить при
помощи не более чем двухсот русских слов (включая сюда и слова
«нуль», «один», «два» и т. д.).
Так как множество всех русских слов конечно (для простоты
будем считать, что берутся лишь слова из словаря Ожегова и их
грамматические формы), то и множество таких чисел конечно.
Пусть это будут числа $r_1, r_2, ..., r_N$. Определим теперь рациональ-
ное число r следующим образом:
$r = 0,n_1n_2...n_N$ ,
где $n_i $(i-й десятичный знак числа r) равен 1, если i-й десятич-
ный знак числа $r_i$ отличен от единицы, в противном же слу-
чае $n_i = 2.$
Число r не совпадает с $r_1$, так как отличается от него первым
десятичным знаком, не совпадает с $r_2$, так как отличается от него
вторым десятичным знаком, и т. д. Поэтому число r не входит
в множество A. Между тем это число определено нами при помощи
не более чем двухсот слов.

Теперь о том, что именно я не понимаю.
Мне кажется, я неправильно понимаю "определить с помощью двухсот слов". Я понимаю это либо как "определить с помощью 200 цифр", что-то в таком духе, но тогда множество было бы бесконечным, либо использовать эти двести значений по какому-то введенному нами закону. Тогда, опять-таки, я не понимаю, почему множество конечно.

Или это упорядоченные "цифры" после запятой в числе r, которые могут идти только в определенном порядке и составлены из наших 200 слов?
И тогда когда мы заменяем все "единицы" на "двойки", а остальные "цифры" - на единицы, мы получаем новое значение, где цифры в ином порядке от того, что мы задали?..

Извиняюсь ещё раз за такой глупый вопрос, но ничего не могу об этом найти. Только у Виленкина в книге пример этот есть.
Надеюсь на ваши объяснения или хотя бы если скажете название этого парадокса в общем виде. Может быть, так я смогу понять

[Connector]

Это — парадокс Берри.
Так как множество слов русского языка конечно, то и множество всех их комбинаций, состоящих не более чем из 200 элементов конечно (если, скажем, принять, что в словаре Ожегова 70 000 слов, то число возможных выражений не может превосходить $70000!/(70000-200)!$ . Суть построения состоит в том, чтобы получить число, отличное от каждого из чисел данной совокупности, и, следовательно, не принадлежащее ей; однако следующее определение

Цитата:

$r = 0,n_1n_2...n_N$ ,
где $n_i $(i-й десятичный знак числа r) равен 1, если i-й десятич-
ный знак числа $r_i$ отличен от единицы, в противном же слу-
чае $n_i = 2.$

содержит явно меньше 200 слов; здесь и возникает противоречие.
Существуют разные формулировки этого парадокса, например:
Словосочетание «Наименьшее целое число, которое не может быть названо по-русски меньше чем в двести слов» есть выражение русского языка, содержащее менее 200 слов.

[arseniiv]

ForQuestion$ в сообщении #1415862 писал(а):

Мне кажется, я неправильно понимаю "определить с помощью двухсот слов". Я понимаю это либо как "определить с помощью 200 цифр", что-то в таком духе, но тогда множество было бы бесконечным, либо использовать эти двести значений по какому-то введенному нами закону. Тогда, опять-таки, я не понимаю, почему множество конечно.

Нет, именно вообще слов. Вот есть определение наподобие «$x$ — такое число, что …», если в нём не больше 200 слов, то $x\in A$, и если нет, $x\ne A$.

При желании можно формализовать язык описания таких определений и ограничить количество конструкций этого языка в определении, и проблема останется и в таком случае, если количество брать достаточным, чтобы мы могли провести диагональную конструкцию как здесь.

[ForQuestion$]

Теперь все ясно) Благодарю!

[Padawan]

Никогда не понимал этот "парадокс". Вообще, кому могло прийти в голову, что фразу "число, которое можно определить при
помощи не более чем двухсот русских слов" можно считать каким бы то ни было определением. Что значит определить? Одному человеку и 500 слов не хватит, "смотрит в книгу, видит фигу", другому покажется, что он что-то понял, хоть там и белиберда будет написана, третий скажет "ерунда это все, дайте мне чёткое определение". Ясно же, что чтобы говорить об определении, должен быть заранее явно указан (и предполагаться известным) алгоритм, по которому мы строки слов переводим в числа.

-- Чт сен 19, 2019 09:21:34 --

arseniiv в сообщении #1415866 писал(а):

При желании можно формализовать язык описания таких определений и ограничить количество конструкций этого языка в определении, и проблема останется и в таком случае, если количество брать достаточным

В свете сказанного мной выше, как раз формализовать этот "парадокс" не получится.

[arseniiv]

Надо будет взять достаточно выразительный язык (арифметики или сразу уж теории множеств, раз потом хочется посмотреть, множество ли), закодировать формулы этого языка на нём же, пронумеровать все формулы с одной свободной переменной (зафиксированной заранее), ограниченные по сложности нужным нам образом, пронумеровать часть этих формул, каждой из которых удовлетворяет лишь по одному числу, пронумеровать все такие числа, написать теперь формулу, выражающую то хитрое число и т. д., ну в общем всё примерно как у Гёделя. Кажется.

Вообще можно понимать это и чисто неформально, конечно, как указание, что не всё кажущееся удовлетворительным, им оказывается, если покопать (формализовать и т. п. и ещё захотеть непротиворечивости).